初三数学中考第二轮专题复习之开放性综合题(苏科版)

-1-初三数学中考第二轮复习之开放性综合题一、知识网络梳理开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。这类题目要求学生通过观察、分析、比较、概括，总结出题设反映出的某种规律，进而利用这个规律解决相关问题．这类试题主要考查学生的逻辑判断能力和归纳推理能力。题型条件开放与探索条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出．题型结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力．题型解题方法的开放与探索策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。二、知识运用举例（一）条件开放例1.已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数xky图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为___________（只需写出符号条件的一个．．k的值）解：答案不唯一，只要符合k＜0即可，如k＝—1，或k＝—2……．例2.如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC＝DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是__．图1解：答案不惟一.如：AB＝DC；∠ACB＝∠DBC；∠A＝∠D＝Rt∠…．DBCA-2-例3已知点()Pxy，位于第二象限，并且4yx≤，xy，为整数，写出一个．．符合上述条件的点P的坐标：．答：(13)，，(12)，，(11)，，(21)，，(22)，，(31)，六个中任意写出一个即可例4如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点．（1）如果__________，则ΔDEC≌ΔBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论．分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件．解：（1）AE＝CF（OE＝OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等）（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF又∵AE＝CF，∴AC－AE＝AC－CF，∴AF＝CE，∴ΔDEC≌ΔBAF说明：考查了矩形的性质及三角形全等的判定．例5已知：∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x．（1）如图（1）当x取何值时，⊙O与AM相切；（2）如图（2）当x为何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°．图3【解答】（1）在图（1）中，当⊙O与AM相切时，设切点为F．连结OF，则OF⊥AM，∵在Rt△AOF中，∠MAN＝30°，∴OF＝12OA．∴2＝12（x＋2），∴x＝2，∴当x＝2时，⊙O与AM相切．（2）在图（2）中，过点O作OH⊥BC于H．图2ABCDEFO-3-当∠BOC＝90°时，△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝222222OBOC＝22，∵OH⊥BC，∴BH＝CH，∴OH＝12BC＝2．在Rt△AHO中，∠A＝30°，∴OH＝12OA，∴2＝12（x＋2），∴x＝22－2．∴当x＝22－2时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°．【点评】解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解．（二）结论开放例1如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，D为垂足．由以上两个条件可得________．(写出一个结论)解：∠1＝∠2或BD＝DC或△ABD≌△ACD等．图4例2：已知一次函数图像经过P（1，2），写出满足条件的一个一次函数的解析式：（只要满足条件的答案均可）解析：该题是一道结论开放的试题，其实只要掌握平面内，经过一点的直线有无数条，就不难求出经过点P（1，2）的直线有：y=2x或y=3x－1或y=－3+x或y=x+1……例3已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA2＋PC2＝PB2＋PD2，请你探究：当P点分别在图②、图③中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．答：对图②的探究结论为__________．图5对图③的探究结论为_________．21DCBA-4-证明：如图2．结论均是：PA2＋PC2＝PB2＋PD2．证明：如图②过点P作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N．∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2∴PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC．∴四边形MNCD是矩形．∴MD＝NC．同理AM＝BN．∴PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2．即PA2＋PC2＝PB2＋PD2．【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度．正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键．（三）综合开放例1如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．解：△BCF≌△CBD.△BHF≌△CHD.△BDA≌△CFA.(注意答案不唯一)图7证明△BCF≌△CBD．∵AB＝AC.∴∠ABC＝∠ACB.∵BD、CF是角平分线.∴∠BCF＝21∠ACB，∠CBD＝21∠ABC．ADHFEGBC-5-∴∠BCF＝∠CBD.又BC＝CB.∴△BCF≌△CBD．例2已知抛物线1)(2mxy与x轴的交点为A、B（B在A的右边），与y轴的交点为C．（1）写出1m时与抛物线有关的三个正确结论；（2）当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；图8（3）请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分有差异）．解：当m＝1时，抛物线解析式为y＝－)1(2x＋1，可从对称轴、顶点坐标、开口方向、最值、增减性等多方面去写出许多正确结论，任写三个就可；（2）存在．m＝2；（3）是结论开放题，答案有许多，如：抛物线y＝－)(2mx＋1与x轴总有交点，顶点纵坐标为1或函数最大值为1等．例3如图9，直线ACBD∥，连结AB，直线ACBD，及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PAPB，，构成PAC，APB，PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．）（1）当动点P落在第①部分时，求证：APBPACPBD；（2）当动点P落在第②部分时，APBPACPBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第③部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．ABCD①②③ABCDP①②③④ABCD①②③④图9④-6-解：（1）解法一：如图9－1延长BP交直线AC于点E∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD．∵∠APB＝∠PAE＋∠PEA，∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD．解法二：如图9－2过点P作FP∥AC，∴∠PAC＝∠APF.∵AC∥BD，∴FP∥BD.∴∠FPB＝∠PBD.∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝∠PAC＋∠PBD．解法三：如图9－3，∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180°即∠PAC＋∠PAB＋∠PBA＋∠PBD＝180°．又∠APB＋∠PBA＋∠PAB＝180°，∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD.（2）不成立.（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB．(b)当动点P在射线BA上，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB．或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD（任写一个即可）．(c)当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC＝∠APB＋∠PBD．选择(a)证明：如图9－4，连接PA，连接PB交AC于M∵AC∥BD，-7-∴∠PMC＝∠PBD．又∵∠PMC＝∠PAM＋∠APM，∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB．选择(b)证明：如图9－5∵点P在射线BA上，∴∠APB＝0°．∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC．∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD.选择(c)证明：如图9－6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA＝∠PBD．∵∠PAC＝∠APF＋∠PFA，∴∠PAC＝∠APB＋∠PBD．例4、（1）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=a，AB=b，E为AD边上的一点，EF∥AB，且EF交BC于点F．某学生在研究这一问题时，发现如下事实：①当DEAE=1时，有EF=2ab；②当DEAE=2时，有EF=23ab；③当DEAE=3时，有EF=34ab．当DEAE=k时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明：（2）现有一块直角梯形田地（如图2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，CD=170m，AD=70m．若要将这块地分成两块，均为直角梯形，且面积相等．请你给出具体分割方案．解题思路：（1）猜测当DEAE=k时，EF=1akbk．可利用三角形相似和平行线等分线段成比例定理来完成证明；（2）利用第（1）题结论，应在AD上找一合适点E，过E作EF∥AB交BC于F，这样可将原梯形分割成上、下两块直角梯形，利用它们的面积相等，可确定E的位置．-8-(1)(2)(3)图10解：（1）猜想EF=1akbk．证明：如图3，过点E作BC的平行线交BC于G，交CD的延长线于H点．∵AB∥CD，∴△DHE∽△AGE，∴DHAG=DEAE=k．又EF∥AB∥CD，∴CH=EF=GB，∴DH=EF－a，AG=b－EF．∴EFabEF=k，可得EF=1akbk．（2）在AD上取一点E，作EF∥AB交BC于点F．设DEAE=k，则EF=17031070,11kkDEkk．若S梯形DCFE=S梯形ABFE，则S梯形ABCD=S梯形DCFE．∵梯形ABCD、DCFE为直角梯形．∴170310117031070702(170)2211kkkk．化简得：12k2－7k－12=0，解得k1=43，k2=－34（舍去）．∴DE=701kk=40（m）．所以只需在AD边上取点E，使DE=40m，作EF∥AB（或EF⊥DA），即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．评析：此题是将阅读理解与探索猜想嫁接在一起的新型考题，要求学生通过观察进行分析和比较，从特殊到一般去发现规律，能概括地用数学符号表达出来，并会运用结论解题．三、知识巩固训练-9-1、多项式x2＋px＋12可分解为两个一次因式的积，整数p的值是＿＿＿＿（写出一个即可）2、请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式__________________________3、平移抛物线228yxx，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式____________________4、请给出一元二次方程28xx____