2017联赛初二试题及答案

2017年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab＝（B）A.2．B.1．C.0．D.1．2．已知实数,,abc满足1abc，1110135abc，则22(1)(3)ab2(5)c＝（C）A.125．B．120．C．100．D．81．3．若正整数,,abc满足abc且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（B）A.4．B．3．C．2．D．1．4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc＝（C）A.424．B.430．C.441．D.460．5．梯形ABCD中，//ADBC，3AB，4BC，2CD，1AD，则梯形的面积为（A）A.1023．B.1033．C.32．D.33．6．如图，梯形ABCD中，//ADBC,90A，点E在AB上，若42AE，28BE，70BC，45DCE，则DE＝（B）A.56．B.58．C.60．D.62．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为8．2．已知△ABC的三个内角满足100ABC，用表示100,,CCBBA中的最小者，则的最大值为20.3．设,ab是两个互质的正整数，且38abpab为质数，则p7．4．20个都不等于7的正整数排列成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为34．第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果22AB是完全平方数，求A的值.解设10Aab，,ab为正整数且19a，19b，ab，则10Bba，2222222(10)(10)99()311()()ABabbaababab.因为22AB是完全平方数，所以ab，且11|()()abab.又18ab，118ab，所以11ab.于是2222311()ABab，故ab也是完全平方数，所以ab＝1或4.如果ab＝1，结合11ab可求得6a，5b.如果ab＝4，结合11ab可知没有正整数解.因此，6a，5b，A＝65.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分ADB，DF平分ADC，BEDE，CFDF，P为AD与EF的交点.证明：2EFPD.证明设2ADB，则1802ADC，ADEBDE，90ADFCDF.由于△BDE是直角三角形，所以9090EBDBDE，所以EBDFDC.又因为D为BC的中点，所以BDDC，所以Rt△BDE≌Rt△DCF，所以BECF.又由EBDFDC可知//EBFD，因此，四边形BDFE是平行四边形，故//EFBD，于是可得PEDBDE，PFDCDF.又因为BDEPDE，CDFPDF，所以PEDPDE，PFDPDF，所以PEPDPF，所以2EFPD.三、（本题满分25分）已知,,abc是不全相等的正整数，且55abbc为有理数，求222abcabc的最小值.解因为,bc是正整数，5是无理数，故50bc.而222225(5)(5)(5)5()555ababbcabbcbacbcbcbc为有理数，所以20bac，故2bac，又,,abc不全相等，不妨设abc.又222222222()()()abcaaccbacbacbacb，所以222abcabc＝acb，为整数.当1c时，2ab为完全平方数，则4a，23()03324aaacbacacc；当2c时，13acbc.所以3acb，且当4a，2b，1c时，3acb.因此，222abcabc的最小值为3.PFEDABC