椭圆及其标准方程教学设计

课题：2.2.1椭圆及其标准方程教学目标：1.掌握椭圆的定义、标准方程.2.会用坐标法求椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想.3.体会数形结合的思想.重点：掌握椭圆的定义、标准方程，理解坐标法的基本思想.难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用.教学过程：师：大家来看动画，请说明，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到什么图形？生：观看动画，然后得到圆锥曲线的感性认识。师：今天我们就先讲2.2.1椭圆及其标准方程（引出课题并板书）一、椭圆定义师：生活中，存在着许许多多的椭圆，请你举几个生活中的椭圆例子.生：举例回答.师：我们如何画出椭圆？现在大家动手来做一个数学实验（3人1组），做完实验后回答问题.步骤(1)取一条定长的细绳；步骤(2)把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处；步骤(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出轨迹.生画图，师巡视指导.师出示问题1：画出的轨迹是什么曲线？轨迹上的点满足什么几何条件？师展示几个小组的成果，大部分小组画出来的是椭圆.师出示问题2：如何给椭圆下定义？生：回答.平面内与两个定点12,FF的距离的和等于常数（大于12||FF）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.（此处，若学生回答不完整，则其它学生补充，师演示及时补充完整.此处强调三个方面（1）平面内；（2）到两个定点12,FF的距离的和等于常数；（3）常数大于12||FF，若常数等于12||FF或小于12||FF的情况，师可演示，让学生说出结论.）师出示练习：已知21，FF是定点，821=FF，点M满足821=+MFMF,则点M的轨迹是A椭圆B直线C圆D线段二、椭圆标准方程师：我们已经认识了椭圆，若要研究它的性质，你有什么好的办法？生：思考回答.（生若回答不好，师补充说明，建立椭圆的方程，通过方程研究椭圆的性质，这就是坐标法的思想，体现了数形结合思想）师出示问题3：观察椭圆的几何特征，如何选择坐标系才能使椭圆的方程简单？生：思考回答.使尽可能多的点或线落在坐标轴上，原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上.师生一起选定平面直角坐标系.(1)(2)生：以第（2）种情况为例，即以经过椭圆两焦点21，FF的直线为y轴，线段21FF的垂直平分线x轴，建立平面直角坐标系xOy，求椭圆的方程.师：巡视，查看学生出现的问题，随时指导.（学生可能出现的问题：1.不知设cFF221=，尤其不知设aMFMF221=+，此时，师可适当引导；2.不知如何化简，师及时点拨.）师：如何化简？生：回答.师：（1）方程中只有一个根式时，把根式单独留在方程的一边，把其它各项移到另一边；（2）方程中有两个根式时，需将它们分散，放在方程的两边，使其中一边只有一个根式.生：化简得出()()22222222--caaxayca=+师：上式是椭圆的方程吗？生：思考回答（由于在方程的化简过程中每一步都是等价变形，因此方程是椭圆的方程.）师：上述方程就是椭圆的方程，现在我们可以把方程两边同除以()222-caa，得1-22222=+caxay.①师：因为0-22ca，所以令22-cab=，则①式变为12222bxay（ab0）()()acyxcyx2-2222=++++()()acyxcyx2-2222=++++问题4：的线段么？-、、你能从图中找出表示22cacayx生：的线段-、、找出表示22caca.师：变形为上述方程的优点：1.椭圆方程类似于直线的截距式方程，形式上对称；2.方程中的cba、、有明确的意义，便于研究椭圆的简单几何性质.师：方程12222=+bxay（ab0）叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在y轴上，F1(0,-c)，F2(0,c),这里，c2=a2-b2师出示问题5：如果以经过椭圆两焦点21，FF的直线为x轴，线段21FF的垂直平分线y轴，建立平面直角坐标系xOy，cba、、的意义同上，那么椭圆的方程是什么？生：12222byax()0ba师：我们把12222=+bxay，12222byax()0ba都叫做椭圆的标准方程.师：现在我们对这两个方程做一下比较.填表.（学生讨论回答，教师多媒体出示）不同点标准方程图形焦点坐标共同点定义a、b、c的关系焦点位置的判定（师强调焦点位置的确定，22,yx中哪个的分母大，焦点就在其对应的坐标轴上.）练习：你说出一个椭圆的标准方程，请同位说出它的焦点坐标.OF1F2P例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0，-2),(0,2),并且经过点）25，23-（，求它的标准方程.学生板演.解1:因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为()01y2222=+babxa由椭圆的定义知102225232252322222a所以10=a.又因为2=c，所以64-10-222===cab.因此，所求椭圆的标准方程为1610y22=+x.解2：因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为()01y2222=+babxa又因为焦点的坐标为(0，-2),(0,2),所以2=c.所以4-22=ba（1）又1)25()23(-2222=+ba（2）联立（1）（2）解得102=a，62=b.因此，所求椭圆的标准方程为1610y22=+x.规律总结：求椭圆方程（1）定义法（多与焦点有关）；（2）待定系数法.三、巩固练习、深化提高练习：1.如果点),(yxM在运动过程中，总满足关系式10332222yxyx.点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M、N两点，若31=MF,则=2MF，三角形MNF2的周长为.192522yx3.已知椭圆的两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点，求椭圆的标准方程四、反思小结、提炼观点本节课我们学习了哪些知识？有哪些思想方法？你还有什么其它收获？1、2、坐标法的思想，数形结合的思想.五、作业：1.P492.2.阅读P42-P43页的探究与发现，写出你的证明.