初中数学“二次函数”的教学设计

初中数学“二次函数”复习课的课堂教学“二次函数”是初中数学学习的重点内容之一，同时又是难点之一。这部分知识的应用往往是很多检测题和中考试题都重点检测的内容，这部分题目通常又贯穿着其他的数学知识，比如一元一次方程、不等式和一元二次方程等方面的知识，故而一般题目的综合性和难度都较大，学生解决起来比较困难。可以说，二次函数的教学和学习是我们初中阶段数学教学活动的重点和难点之处，这也是我们初中数学教师必须解决的问题。通过多年的教学实践，要想完成好这部分的教学和学习任务，我是从以下几个方面来进行课堂教学的。一、深刻理解和掌握二次函数的意义和形式“二次函数”的意义教科书是这样给出的“用自变量的二次式来表示的函数叫做二次函数”。它的一般形式为y=ax2+bx+c（其中a、b、c常数，且a≠0），它的一般形式包含以下两层含义：第一、自变量x的最高的指数是2；第二、自变量的最高次项的系数不能为0。下面我们来看这方面的应用。例1已知函数y=（m+1）xm2—m是二次函数，求m的值。分析：解这个题目的关键是从掌握二次函数的含义和一般形式着手。也即是自变量x的指数是2，并且最高项的系数不能为0，从而可以得到m2—m=2，解之，可以得到m的值。解：根据题意，得m2—m=2并且m+1≠0解之，得m=2所以，当m的值是2时，函数y=（m+1）x2是二次函数。二、“二次函数”的“三要素”教学法二次函数的“三要素”，指的是二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。我们知道，二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，并且a≠0）通过配方可以得到y=a（x—h）2+k的形式，而此形式的二次函数的“三要素”为：（1）、当a＞0，图象开口向上。当a＜0，图象开口向下。（2）、图象的对称轴为x=h。（3）图象的顶点坐标为（h，k）。具体配方是这样来进行的。二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）首先把二次项系数提出来，即y=a（x2+abx）+c，然后在括号里配上能利用完全平方式的因式，即括号里同时加上和减去括号中一次项系数的一半的平方，也就是y=a（x2+abx+（ab2）2—（ab2）2+c然后可以化成y＝ａ（x—ab2）2+2244abac的形式．2从而其＂三要素＂为：当ａ＞０，函数图象开口向上，当ａ＜０，函数图象开口向下；对称轴为ｘ＝ab2；顶点坐标为（ab2，2244abac）．只要知道二次函数的＂三要素＂，针对要画出二次函数的图象、二次函数的极值以及求二次函数的解析式的问题和二次函数的平移等问题就比较容易解决了．对于二次函数的图象的问题．只要把二次函数ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ（ａ、ｂ、ｃ为常数，ａ≠０）通过配方变成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）2＋ｋ的形式，它的图象的大致位置就可以确定了．在列表时自变量ｘ的取值我们就可以以顶点坐标的横坐标为中心来取，相应可以求得相应的函数值，然后通过描点等就可以作出二次函数的图象了．我们来看下面的例子．例２画出二次函数ｙ＝－21ｘ2－ｘ＋25的图象，并且求出它的顶点坐标和对称轴．分析：只要通过配方找出这个函数的＂三要素＂，此类问题就容易解决了．解：二次函数ｙ＝－21ｘ2－ｘ＋25通过配方ｙ＝－21（ｘ2＋２ｘ）＋25ｙ＝－21（ｘ2＋２ｘ＋１－１）＋25从而可以得到ｙ＝－21（ｘ＋１）2＋３因此，它的顶点坐标为（－１，３），对称轴为ｘ＝１，ａ＝－21，图象开口向上．通过列表（自变量ｘ的取值应以顶点坐标的横坐标－１为中心来取）ｘ…－３－２－１０１…ｙ＝—21x2—x+25…１25３25１…然后描点画图（如图１）3对于二次函数的极值问题，只要知道二次函数的图象的“三要素”就可以直接求出。由前面所述，我们知道二次函数y=ax2+bx+c（a﹑b﹑c为常数，a≠0），当a﹥0时，函数图象开口向上，此时函数有最小值，最小值为顶点坐标的纵坐标，即当a﹥0时，y=2244abac当a＜0时，函数图象开口向下，此时函数有最大值，此时最大值也为顶点坐标的纵坐标，也就是当x=—ab2时，y=abac442，如要求例2的函数的最大值，当x=—1时，函数y=—21x2—x+25有最大值，此时最大值是3。对于求二次函数的解析式的问题，我们知道，对于求一个二次函数的解析式，只要知道它的图象经过三个点，这样的二次函数的解析式可以设为y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，然后通过解一个三元一次方程组，把二次函数的系数a、b、c的值求出，从而函数的解析式就可以求出来了，教科书已经对此种方法进行了举例讲解，在此就不作一一累述了。我们主要来看其他种情形，如知道二次函数的图象的顶点坐标和经过另一个点等条件的问题。对于这种条件的问题，我是这样来解决的：我们把所求的二次函数的解析式设为y=a（x—h）+k的形式，也就是知道其“三要素”的形式，这类问题就比较容易解决了，我们通过下面的例子来加以说明。例3已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（—1，—1），并且经过（1，—3），求这个二次函数的解析式。分析：我们把所求函数的解析式设为y=a（ｘ—ｈ）2＋ｋ的形式，因为题目中已经给出了函数的顶点坐标为（—１，—１），从而可以直接求出ｈ＝—１，ｋ＝—１，然后在根据它经过点（１，—３）就可以比较容易求出ａ的值了。解：设所求的二次函数的解析式为ｙ＝ａ（ｘ—ｈ）2＋ｋ由题可以知道，它的顶点坐标为（—１，—１），所以ｈ＝—１，ｋ＝—１从而函数的解析式变为ｙ＝ａ（ｘ＋１）2—１它的图象又经过点（１，—３），从而可以得到ａ（１＋１）2—１＝—３，解之所以ａ＝—21，ｈ＝—１，ｋ＝—１所以，所求函数的解析式为ｙ＝—21（ｘ＋１）2—１也即ｙ＝—21ｘ2—ｘ—23对于二次函数的图象的平移问题，只要掌握了二次函数的“三要素”，这类4问题也是比较容易解决的。我们来看，一个二次函数的图象向右平移２个单位，再向上平移３个单位，所得二次函数的解析式为ｙ＝32ｘ2，求原来二次函数的解析式。对于此题，我们不妨设所求的二次函数为ｙ＝ａ（ｘ—ｈ）2＋ｋ，其向右平移２个单位，即顶点坐标的横坐标相应加上２，也即ｙ＝ａ〔ｘ—（ｈ＋２）〕2＋ｋ，再向上平移３个单位，此时顶点坐标的横坐标不变，纵坐标加上３，也就是ｙ＝〔ｘ—（ｈ＋２）〕2＋（ｋ＋３），而此函数为ｙ＝32ｘ2，从而可以得到，ａ＝32，ｈ＋２＝０，ｋ＋３＝０，也即ａ＝32，ｈ＝—２，ｋ＝—３，所以所求的二次函数的解析式为ｙ＝32（ｘ＋２）2—３，也即ｙ＝32ｘ2＋38ｘ—31为所求的二次函数。三、关于二次函数图象与坐标轴的交点问题我们知道，函数的图象如果与ｘ轴有交点，则交点坐标为（ｍ，０），其中ｍ为实数；如果函数图象与ｙ轴有交点，则交点坐标为（０，ｎ），ｎ也为实数。对于二次函数ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ（ａ、ｂ、ｃ为常数，ａ≠０），要求它与ｙ轴的交点坐标是比较容易的，因为交点在ｙ轴上，此时横坐标为０，把０代入二次函数的解析式的ｘ的位置，即可以求得ｙ＝ｃ，也就是它与ｙ轴的交点坐标为（０，ｃ）。要求二次函数ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ（ａ、ｂ、ｃ为常数，ａ≠０）与ｘ轴的交点问题，则必须从以下几方面着手，主要还是一元二次方程的应用。首先确定函数ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ中的ｂ2—４ａｃ的值。当ｂ2—４ａｃ＞０时，此时二次函数的图象与ｘ轴有两个交点，横坐标的值可以由方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０求出，即两个交点坐标为（aacbb242，０）和（aacbb242，０）。当ｂ2—４ａｃ＝０时，此时函数的图象与ｘ轴的交点只有一个，并且这个交点恰好是顶点坐标，此时交点坐标为（—ab2，０）。当ｂ2—４ａｃ＜０时，此时二次函数的图象与ｘ轴没有交点，表明二次函数的图象在ｘ轴的上方或下方，下面我们再来看这方面的应用。例４已知二次函数ｙ＝ｘ2—ｍｘ＋ｍ—２，试判断这个函数与ｘ轴有无交点，并且加以证明。分析：要判断此函数与ｘ轴的交点问题，只需要判断函数的式子ｂ2—４ａｃ的值，这个函数中的ａ＝１，ｂ＝—ｍ，ｃ＝ｍ—２，故而ｂ2—４ａｃ＝（—ｍ）2—４×１×（ｍ—２），计算其值就能够判断出来。解：∵ｙ＝ｘ2—ｍｘ＋ｍ—２∴ｂ2—４ａｃ＝（—ｍ）2—４×１×（ｍ—２）5＝ｍ2—４ｍ＋8而ｍ2—４ｍ＋８＝ｍ2—４ｍ＋４—４＝（ｍ—２）2＋４＞０∴函数ｙ＝ｘ2—ｍｘ＋ｍ＋２不论ｍ取什么值时，函数都与ｘ轴有两个交点。总之，我想只要从以上几个方面着手，二次函数这部分内容的教学任务和学习任务就能够比较容易完成。6初中数学“二次函数”复习课的课堂教学教材:人教版九年级(下)第二十六章---二次函数作者:李荣萍职称:中教一级学历:本科单位:丹寨县扬武中学电话:0855---3670510通信地址:丹寨县扬武中学邮政编码:557500文章摘要:初中数学二次函数知识的学习主要从深刻理解和掌握二次函数的意义,掌握二次函数的三要素和着重掌握二次函数图象与坐标轴的交点问题(也即是二次函数与一元二次方程的关系)来进行学习的.关键词:二次函数三要素学习法交点