初中数学公式定理大全

初中数学公式定理大全一、锐角三角函数：①∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sin𝐴=∠𝐴的对边斜边，∠A的余弦：cos𝐴=∠𝐴的邻边斜边，∠A的正切：tan𝐴=∠𝐴的对边∠A的邻边；并且sin2A＋cos2A＝1．0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，cos(90º－A)＝sinA．③斜坡的坡度：i＝铅垂高度水平宽度=ℎ𝑙．设坡角为α，则i＝tanα＝ℎ𝑙．④特殊角的三角函数值：asinacosatanacota30°123233345°22221160°321233390°10不0二、二次函数：1.定义：一般地，如果y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝒶,𝑏,𝑐是常数，𝒶≠0），那么y叫做x的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①𝒶的符号决定抛物线的开口方向：当𝒶0时，开口向上；当𝒶0时，开口向下；|𝒶|相等，抛物线的开口大小、形状相同。②平行于y轴（或重合）的直线记作x=h，特别地，y轴记作直线x=0。几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标Y=ax2当a0时开口向上当a0时开口向下X=0（y轴）（0,0）Y=ax2+kX=0（y轴）(0,k)Y=a(x-h)2X=h(h,0)Y=a(x-h)2+kX=h(h,k)Y=ax2+bx+cX=−𝑏2𝑎(−𝑏2𝑎,4𝑎𝑐−𝑏24𝑎)3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝒶(𝑥+𝑏2𝒶)2+4𝒶𝑐−𝑏24𝒶，∴顶点是(−𝑏2𝒶,4𝒶𝑐−𝑏24𝒶)，对称轴是直线𝑥=−𝑏2𝒶（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=𝒶(𝑥−h)2+𝑘的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线𝑥=ℎ（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点(𝑥1，y)、(𝑥2，y)（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：𝑥=𝑥1+𝑥224.抛物线y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐中，𝒶,𝑏,𝑐的作用（1）𝒶决定开口方向及开口大小，这与y=𝒶𝑥2中的𝒶完全一样.（2）𝑏和𝒶共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的对称轴是直线𝑥=−𝑏2𝒶，故：①𝑏=0时，对称轴为y轴；②𝑏𝒶0（即𝒶、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③𝑏𝒶0（即𝒶、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与y轴交点的位置.当𝑥=0时，y=c，∴抛物线y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与y轴有且只有一个交点（0，c）①c=0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立。如抛物线的对称轴在y轴右侧，则𝑏𝒶0hlα5.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐.已知图像上三点或三对𝑥、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y=𝒶(𝑥−h)2+𝑘.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标𝑥1、𝑥2，通常选用交点式：y=𝒶(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2).6.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐得交点为(0,c).（2）抛物线与𝑥轴的交点二次函数y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图像与x轴的两个交点的横坐标𝑥1、𝑥2，是对应一元二次方程𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔(Δ0)⇔抛物线与𝑥轴相交；②有一个交点（顶点在𝑥轴上）⇔(Δ=0)⇔抛物线与𝑥轴相切；③没有交点⇔(Δ0)⇔抛物线与𝑥轴相离.（3）平行于𝑥轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑘的两个实数根.（4）一次函数y=k𝑥+𝑛(k≠0)的图像ℓ与二次函数y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝒶≠0）的图像G的交点，由方程组{𝑦=𝑘𝑥+𝑛y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔ℓ与G有两个交点；②方程组只有一组解时⇔ℓ与G只有一个交点；③方程组无解时⇔ℓ与G没有交点.（5）抛物线与𝑥轴两交点之间的距离：若抛物线y=𝒶𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与𝑥轴两交点为A(𝑥1，0)，B(𝑥2，0)，则AB=|𝑥1−𝑥2|直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，则有：（1）CD2=AD⋅BD（2）AC2=AD⋅AB（3）BC2=BD⋅AB三、圆的有关性质：（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径．（2）两条平行弦所夹的弧相等．（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（6）同弧或等弧所对的圆周角相等．（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦．（9）圆内接四边形的对角互补．四、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．三-角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．常见结论：（1）Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径r=𝒶+𝑏−𝑐2；（2）△ABC的周长为ℓ，面积为S，其内切圆的半径为r，则S=12ℓ𝑟五、弦切角定理及其推论：（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠PAC为弦切角。（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则∠PAC=12AĈ=12∠AOC=∠ABC推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则∠PAC=∠ABC六、相交弦定理、割线定理、切割线定理：相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。如图①，即：PA·PB=PC·PD割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图②，即：PA·PB=PC·PD切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC2=PA·PB①②③OPBCA8、面积公式：①S正△＝√34×(边长)2．②S平行四边形＝底×高．③S菱形＝底×高＝12×(对角线的积)，S梯形=12（上底+下底）×高=中位线×高④S圆＝πR2．⑤l圆周长＝2πR．⑥弧长L＝𝑛πR180．⑦S扇形=𝑛π𝑟2360=12ℓ𝑟⑧S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr2⑨S圆锥侧＝12×底面周长×母线＝πrb，S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr2常用数学公式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b=-b≤a≤b；|a-b|≥|a|-|b|；-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解x=−b±√b2−4ac2a判别式Δ=b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根Δ=b2-4ac0注：方程有两个不等的实根Δ=b2-4ac0注：方程没有实根，有共轭复数根根与系数的关系（韦达定理）X1+X2=−𝑏𝒶；X1⋅X2=c𝒶三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB；sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tan𝐴+tan𝐵tan𝐴tan𝐵；tan(A-B)=tan𝐴−tan𝐵1+tan𝐴tan𝐵cot(A+B)=cot𝐴cot𝐵−1cot𝐵−cot𝐴；cot(A-B)=cot𝐴cot𝐵+1cot𝐵−cot𝐴倍角公式tan2A=2tan𝐴1−𝑡𝑎𝑛2𝐴；Sin2A=2SinA•CosA；Cos2A=Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A=3sinA-4(sinA)3；cos3A=4(cosA)3-3cosA；tan3A=tanA·tan(𝜋3+A)·tan(𝜋3-A)半角公式sin(𝐴2)=√1−cos𝐴2；cos(𝑨𝟐)=√1+cos𝐴2；tan(𝑨𝟐)=√1−cos𝐴1+cos𝐴；cot(𝑨𝟐)=√1+cos𝐴1−cos𝐴；tan(𝑨𝟐)=1−cos𝐴sin𝐴=sin𝐴1+cos𝐴和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（注：其中R表示三角形的外接圆半径）余弦定理：b2=a2+c2-2accosB（注：角B是边a和边c的夹角）圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2（注：（a,b）是圆心坐标）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（注：D2+E2-4F0）抛物线标准方程：y2=2px；y2=-2px；x2=2py；x2=-2py直棱柱侧面积：S=ch；斜棱柱侧面积：S=c'h正棱锥侧面积：S=12ch'；正棱台侧面积：S=12(c+c')h'圆台侧面积：S=12(c+c')L=π(R+r)L；球的表面积：S=4πr2圆柱侧面积：S=Ch=2πrh（注：其中C表示底面周长）；圆锥侧面积：S=12CL=πrL弧长公式：L=a×r（a是圆心角的弧度数r0）；扇形面积公式：s=12L×r锥体体积公式：V=13SH（注：其中S表示底面积）圆锥体体积公式：V=13πr2h斜棱柱体积：V=S'L（注：其中S'是直截面面积，L是侧棱长）柱体体积公式：V=sh（注：其中s表示底面积）圆柱体：V=πr2h