初中数学几何推理论证

初中数学“几何推理论证”的教学研究与案例评析李延林(首都师范大学基础教育发展研究院副教授)一、对几何推理论证的深层次理解（一）不可偏颇合情推理或演绎推理自课程改革以来，教师对合情推理和演绎推理各自的意义及重要性认识逐渐清晰，特别是对以归纳和类比为主要方法的合情推理在教学中给予了足够的重视。波利亚在他的《数学与猜想》一书中讲到：“数学有两个侧面……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学”，与之相匹配的推理方式分别是演绎推理和归纳推理。课程标准对学生推理能力的培养提出了明确的要求，即“发展合情推理和演绎推理能力”。合情推理包括归纳推理、类比推理等或然推理。归纳推理是从特殊到一般的推理，类比推理是从特殊到特殊的推理，可以说合情推理是从范围较小的命题得到范围较大的命题；而演绎推理则是从范围较大的命题得到范围较小的命题。在数学学习中，演绎推理的地位已不容置疑，发展演绎推理的能力也受到广大师生的重视。新课程特别强调了合情推理能力的培养，这与长期以来人们对此的忽视有关，也与我们对学生能力要求的变化有关。现在更强调培养学生的创新精神和实践能力，让学生经历探索、发现结论的过程。合情推理尽管不能保证其推出的结论一定正确，但是，每一次合情推理过程的背后都闪烁着推理者创造的火花。（二）几何直观与逻辑推理有人可能认为，几何直观是根据见到的图形直接看出结论，不是逻辑推理。这是偏见！有一篇文章，讲直观实验和逻辑推理的关系，分析了牛顿发现万有引力的故事。文章说：“直观实验确实可以启发人们发现新事物，但是创新不能仅仅停留在这个层次上，而需要在此基础上进行科学的思考、探究、论证，这就需要逻辑思维，否则无法实现真正的创新。相传牛顿见到苹果从树上掉在地上，才受到启发发现了万有引力定律。如果把苹果落地看作直观实验，这个故事给人的印象似乎是直观实验对创新起了主要作用。但是认真考虑它，你会发现故事背后隐含了逻辑思维对创新所起的关键作用。实际上物体下落是无数人司空见惯的现象，由它引发重大发现的关键，在于牛顿在观察现象之后进行了合乎逻辑的思考：为什么物体会垂直下落？因为有向下的力作用于它；地球上各处的物体为什么都有这种性质？因为它们都受到指向地球中心的力；这些力是谁给的？是地球……，一系列因果关系的思考，导致进一步的实验检验，又引发更深层的思考，终于产生了新的科学成果。”现在我们来看几何直观和逻辑推理。什么是几何直观？它是依托、利用图形进行数学的思考和想象，它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。几何直观与逻辑、推理是不可分的，几何直观往往靠逻辑支撑，它不仅是看到了什么，而是通过看到的图形思考到了什么，想象到了什么。几何直观是个过程，是在把现在看到的与过去学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路。这其实就是合情推理。当沿着图形提供的信息，经过一步步分析，逐步建立起元素间联系，并推出结论，这里就有了演绎推理，有了论证。2001年一本叫做《直观几何》的中文书出现在读者面前，这是一本译著，是俄国数学家沙雷金写的俄国中学几何教材。在上个世纪60年代以前，前苏联的几何是公理化体系，经过千锤百炼的几何教材，追求严格，论证明白无误，叙述简明扼要，中国也长期仿照苏联风格办教育。到上个世纪中期，苏联开始反思，几何教育应当帮助青少年“更好地了解世界、发现新事物、领会周围世界的美和智慧。”严谨的演绎推理是重要的，而充满想象力的合情推理同样是非常重要，“丰富的想象力——对数学家和诗人都是同样必要的。”1967年以后，苏联开始了数学教育改革，向量方法、几何变换成为教材的核心思想。《几何直观》就是教育改革的显现。张奠宙先生为这本译著校对，并写了译校记，他写道：“几何学习大致有四个步骤：直观感知——操作确认——思辨论证——度量计算。但是中国的几何教学，把前两个步骤忽略了，变成纯粹的思辨论证以及论证基础上的计算。缺乏直观，实际上就是扼杀了几何。”几何课程的教育价值，最主要的是两个方面，一是逻辑推理能力，二是几何直观能力。几何直观与逻辑推理在几何学习中的作用是相辅相成的，几何直观可以从图中感知性质，从图中析出关系。在通过看到的图形思考结论时，如果让看到的图形在头脑中动起来，将看似没有关系的几何元素在有规律地移动后，建立起关系，这就是几何变换的直观视角。运动图形是动态直观，按照规律运动是逻辑支撑。比如，求证：凸四边形的面积不大于它的对边乘积之和的一半。如图，结论可以表示成：SABCD≤(AB∙CD+AD∙BC)先从结论上看，此式在形式上不熟悉，但又似曾相识，原来，所熟悉的式子形式是SABC≤AB∙BC，所以，如果结论是SABCD≤(AB∙BC+AD∙CD)就显然成立了。这与要证的结论只是一字之差，即：对边改为邻边就显然成立了。这就是几何直观引出的思考。进一步就是让图形动起来，真的将邻边“挪到”对边位置上，这就是作△ABC关于AC的中垂线l的对称图形△CB’A，这时，AB=CB’，BC=B’A，SABC=SCB’A，于是有：SABCD=SAB’CD≤(CB’∙CD+AD∙B’A)=(AB∙CD+AD∙BC)结论得到证明。（三）证明的基本方法及课程要求学习几何，一来是了解、认识几何图形，把握图形的性质，服务于我们生活的空间世界；二来是学习研究图形的方法，感受几何学的特征，获得推理论证等基本的科学素养。正像杨乐院士所讲：就几何而言，“似乎很难找到别的东西来代替它对中学生进行严格的逻辑思维培养”。学生结合几何图形，利用图形语言学习逻辑推理，在一定程度上可以降低认识和理解逻辑推理的难度。在欧式几何中，任何一个完整的证明都要依赖几何公理和已证明过的定理，同时经过一系列正确的推理。在义务教育数学课程中，几何的构成是演绎体系，但为了学习方便，并不是基于严格的欧式几何公理体系，而是事先承认9个基本事实。即（1）两点确定一条直线；（2）两点之间线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；（8）三边分别相等的两个三角形全等；（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。说这9个基本事实与严格的欧式几何公理体系不同，是因为虽然具备了公理体系所要求的和谐性特征，但不具备公理体系所要求的独立性、完备性特征。课程的这种处理方式即让学习者体会到了演绎几何，也为学习者提供了方便。综合课程标准关于证明的基本方法及课程要求的表述，主要有以下几点：（1）“知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑”；“知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式”。综合法是从已知条件出发，根据公理、定义、定理进行逻辑推理，最后达到待证结论的证明方法。这样的逻辑推理是演绎推理，三段论是最常见的演绎推理形式。三段论的名字从何而来？恰是其结构使然。三段论证明过程是由大前提，小前提和结论三部分组成。三段论反映了人类思维最基本的形式，是人类最基本的思维方式的提炼和总结，最基本的也就是最有用的。在运用三段论推理时，常常采用省略大前提的表达方式。例如，在最初学习几何论证时，证明△ABC与△XYZ全等，表达起来是“因为AB=XY，BC=YZ，CA=ZX，所以△ABC≌△XYZ（边，边，边）”按说三段论形式里有两个“因为”和一个“所以”，这里只有一个“因为”，省略的那个“因为”是大前提，不过没有完全去掉，而是缩写在括号里了。随着学习的深入，人们对非常熟悉的、作为大前提的命题，在书写中往往会完全省略。另外，在较复杂的论证中，经常采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提，在书写时出现连续的“所以”。例如，接着上面的例子，“因为AB=XY，BC=YZ，CA=ZX，所以△ABC≌△XYZ（边，边，边）。所以∠BCA=∠YZX（全等三角形对应角相等）。”三段论不仅在几何推理中常见，在其它数学分支也普遍存在。例如在估计多大时，因为12=1，22=4，所以1＜＜2；这是三段论的缩写，写完整了应当是：因为若正数a、b满足a2＜b2，则a＜b。又因为1、、2都是正数，12=1，()2=2，22=4，且1＜2＜4，所以1＜＜2。（2）“了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的”。命题有真有假，如果能寻找一个反例作为论据反驳了命题或否定了命题，这样的方法称为反例反驳。反例反驳也是一种证明，是对命题不真的证明。反例反驳是用特殊否定一般的一种思维形式。它在逻辑上的依据是：如果一个数学命题成立，则该命题应该对一切特例都成立，既然这个作为反例的特例与命题矛盾，因此这个命题不成立。反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。构造一个反例必须满足两个条件：一是反例满足构成命题的所有条件；二是反例与构成命题的结论矛盾。利用反例进行的命题不成立的证明是构造性的证明，在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，使人不容置疑，是非常犀利的证明方法。构造反例有时很难，在初中，不要求学生自己构造反例。（3）“通过实例体会反证法的含义”，反证法是非常重要的证明方法，它是一种间接证法，其思维方式与直接证法不同，它是后续的高中课程中的学习内容。在初中，不要求学生独立使用反证法证明命题。二、推理论证的教学建议（一）围绕命题教学的推理论证命题教学有四个阶段：探究命题→证明命题→应用命题→拓展命题。当然，并不是所有的命题教学都要经历这四个阶段，有些命题是很难探索出来的，这样的命题就不适合探索，也不是学了定理就要拓展，但是一般的命题都要经历证明和应用两个阶段。1．在探究命题中培养推理能力欧式几何学是一个演绎体系，体系中所有的知识都有着联系，作为学习者不能满足对已有命题的证明，而应当尝试从已经学过的某些结论出发，通过推理得到一些“新”的结论，尤其是通过合情推理得到一些猜想。怎样探究命题？首先需要有个起点，提出一些问题，能不能提问题是意识问题，能不能提出好的问题是能力问题。随着对问题的思考，结合已有的知识，在丰富的联想下，结论会慢慢地呈现，这是数学发现的过程。例如，在学习了圆的概念以后，去审视已经学过的直线形知识，哪些可以用圆的观点再认识？能用圆的概念去解释？理一下，发现“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”与圆有关系。如果换个角度分析该结论，就得到隐在它后面的另外涵义，即在图1（1）中，直角三角形ABC的斜边中点D是三条等长线段AD、BD、CD的公共端点，则A、B、C在以D为圆心、以AB为直径的圆上，∠ACB是以AB为直径的圆上的圆周角。注意到，图1（1）这个直角三角形是任意画出来的，而以AB为斜边的直角三角形有无数个，如图1（2）所示的△ABC、△ABC1、△ABC2、△ABC3等就是其中的四个，也就是说，以AB为斜边的任意直角三角形的直角顶点都在以AB为直径的圆上。再有，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理是成立的，所以，将结论“以AB为斜边的任意直角三角形的直角顶点都在以AB为直径的圆上”倒过来说也是对的，简而言之，即“直径上的圆周角都是90º”。而直径上的圆周角所对的弧是半圆，所以有结论：半圆所对的圆周角相等！有了这个结论，便可以追问：只有半圆所对的圆周角相等吗？随便一条弧所对的圆周角是否相等呢？针对新的问题，再看看有没有熟悉的特殊角例子，内接于圆的等边三角形就是熟悉的特殊例子，三个顶点将圆周三等分，如图2，∠A=60º，再作∠ABC的角平分线，它交圆上另一点A'，∠A'BC=30º，BA'是直径，于是∠BCA'=90º，得到∠A'=60º；∠A和∠A'都是所对的圆周角，可见，所对的这两个圆周角相等，进而大胆猜想：60º弧所对的圆周角相等。至此可以进一步猜想：同弧所对的圆周角相等。这种思路是源于已有的知识积累，旧知识是新知识的摇篮。将已有知识与新概念相结合，能够发现新结论，新旧知识顺畅相连。整个思维过程有明确的起点，有清晰的阶段，一环一环，环环相扣，整个过程都蕴涵着推理。这里