初中数学分式方程典型例题讲解

第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:0bcbcaaaa2.异分母加减法则:0,0bdbcdabcdaacacacacac;3.分式的乘法与除法:bdbdacac,bcbdbdadacac4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn7.负指数幂:a-p=1paa0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义（一）分式的概念：形如AB(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.【例1】下列代数式中：yxyxyxyxbabayxx1,,,21,22，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.【例2】当x有何值时，下列分式有意义（1）44xx（2）232xx（3）122x（4）3||6xx（5）xx11题型三：考查分式的值为0的条件：1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.（1）31xx（2）42||2xx题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x为何值时，分式x84为正；（2）当x为何值时，分式2)1(35xx为负；（3）当x为何值时，分式32xx为非负数.练习：1．当x取何值时，下列分式有意义：（1）3||61x（2）1)1(32xx（3）x1112．当x为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5xx（2）562522xxx3．解下列不等式（1）012||xx（2）03252xxx（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MBMAMBMABA2．分式的变号法则：babababa题型一：分式化简（约分）（1）4322016xyyx；（2）44422xxx;（3）在分式xyzxyz中，x,y,z分别扩大到原来的两倍，则分式大小怎么变化？题型二：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yxyx41313221（2）baba04.003.02.0题型三：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yxyx（2）baa（3）ba题型四：化简求值题【例3】已知：511yx，求yxyxyxyx2232的值.【例4】已知：21xx，求221xx的值.【例5】若0)32(|1|2xyx，求yx241的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yxyx5.008.02.003.0（2）baba10141534.02．已知：31xx，求1242xxx的值.3．已知：311ba，求aabbbaba232的值.4．若0106222bbaa，求baba532的值.5．如果21x，试化简xx2|2|xxxx|||1|1.（三）分式的乘除法题型一：分式的乘法：①分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简bdac（）②整式和分式相乘，直接把整式和分式的分子相乘作结果的分子，分母不变。即cab（）【例1】计算下列各分式：(1)4411242222aaaaaa；（2）baababba234222；（3）3222)(35)(42xyxxyx题型二：分数除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.bdac（）【例2】计算下列各式：（1）abcacb2110352；（2）yxaxy28512；题型三：分式的混合运算：熟记分式乘除法法则【例3】计算：（1）42232)()()(abcabccba；（2）22233)()()3(xyxyyxyxa；题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）1112421222aaaaaa，其中a满足02aa.（2）已知3:2:yx，求2322])()[()(yxxyxyxxyyx的值..（四）、分式的加减法题型一：同分母分数相加减：分母不变，把分子相加减。cdabab【例1】计算：（1）xyyxxyyx2)(2）（；（2）xyyxxyyx22)()(.；（3）22yxx－22xyy题型二：异分母分数相加减：正确地找出各分式的最简公分母。求最简公分母概括为：（通分）①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；③分母是多项式时一般需先因式分解。（aba322）【例2】通分：(1)22232,,555ababbaababab（2）22,,mnnmnmmnnm【例3】（1）计算：1624432xx.（2）计算2aabab（3）31x－31x;（4）412a－21a;题型三：加减乘除混合运算【例4】计算：（1）、xxxxxx24)22(，（2）3352242xxx新授知识分式方程问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.做一做在方程①73x=8+152x，②1626x=x，③281x=81xx，④x-112x=0中，是分式方程的有（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④问题2：怎么解问题1中的分式方程：【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程(1)113xx(2)11222xxx【例1】解下列分式方程（1）xx311；（2）0132xx；（3）114112xxx；（4）xxxx4535【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：求待定字母的值【例5】若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围.练习：1．解下列方程：（1）021211xxxx；（2）3423xxx；