初中数学复习课中的思维训练初探

初中数学复习课中的思维训练初探焦作市张玉华人的本质在于思维，而抽象思维能力又是人类认识能力的重要标志，在现代社会，任何一个缺乏抽象思维能力的人，都将是缺乏竞争力的。而数学科学的高度抽象性，决定了数学教育是发展学生抽象思维能力的重要内容和途径。因此对学生进行思维训练是必不可少的，尤其是对即将毕业的初三学生来说，更是如此。如何利用复习课对学生进行有效的思维训练呢？笔者认为，“抓住质疑、深入挖掘”是个不错的方法。因为一切学问都是从质疑开始的，正如爱因斯坦所说：“提出一个问题比解决一个问题更重要”。下面，我就结合教学中的两个案例来谈一下自己的体会：一、关注学生的质疑，深入挖掘教学资源。例1，如图，B是线段AC的中点，过点C的直线L与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A3个B2个C1个D不存在解析：过点B作BP⊥AC，交直线L于点P，连接PA，由垂直平分线性质得PA=PC，所以，∠PAB=∠PCB=60°，则∠APB=30°；过点A作AP′⊥直线L，交L于点P′，连接P′B，则P′B为Rt△AP′C斜边上的中线，故P′B=AB，∠AP′B=∠P′AC=30°；所以满足条件的点P的个数为2个。故选B。讲解到了这里学生问：我们只找到2个符合条件的点P，并不能排除存在第3个点的可能，该怎么办呢？直线L位于AC下方的部分，是否还有符合条件的点P呢？就此，我组织学生在课堂上展开了讨论。经过一番交流之后，一些想法浮出水面：生甲：假设在直线L位于AC下方的部分还存在有一点P使∠APB=30°，由于P在C点下方，故BP＞BC，而BC=AB，则BP＞AB，∠1＞∠APB，即∠1＞30°，而∠2=∠1+∠APB，故∠2＞60°，这与∠2＜∠ACQ产生矛盾，故假设不成立，因此，符合条件的点P只有两个。（能用反证法、三角形边角关系来解决问题，实在是了不起！这也是我之前备课所未预想到的。）生乙：如图，过A、B、P三点作圆，因为∠ABP=90°，所以圆心O位于AP的中点。由于∠AP′B=∠APB=30°，故P′在⊙O上，由同弧所对的圆周角相等可知，符合条件的点P应位于⊙O上，而⊙O与直线L最多只能有2个交点，故选择B。当生乙讲完自己的方法后，全班同学都为他的聪明才智而感到惊叹，能够将角的问题放在圆中解决，开辟了新的解LBACLP'PBACLQ21BCAPLOP'PBAC题思路。此时，学生完全沉浸在对这样一种新解法的品味之中。生乙的方法是我备课时已经想到的，而此时，由于受到学生积极质疑和思考的情绪影响，我的思维也异常活跃，于是紧接着又提出这样的问题：将上述解法中的⊙O沿AB对称过去得到⊙O′，那么⊙O′上也应存在使∠APB=90°的点P，⊙O′与L有公共点吗？将这样的问题提出之后，学生马上说道：一看就知道⊙O′与直线L没有公共点！我说：“数学讲求严谨，眼见未必为实，还是要证一证呀！”又经历了一番思考之后，生丙说：如图，连接OB、O′A、O′B、O′C、OO′，因为∠AOB=2∠APB=60°，所以△AOB为正三角形，由对称性可知△AO′B为正三角形，则O′B=AB=BC，故∠AO′C=90°，因为∠O′AC=60°，所以∠O′CA=30°，所以∠O′CP=90°，即O′C⊥直线L，而tan''AOCO60°=3＞1，所以O′C＞O′A，即⊙O′与直线L相离，无公共点。因此，直线L位于AC下方的部分不存在符合条件的点P。这道题讲解到这里，恐怕已经不仅仅是完成了此题的“考查目标”，这“意料之外”的收获，则远远超过了题目本身的价值。二、教师主动设疑，促进知识间的融会贯通。例2：阅读下面的解答过程：化简与求值：21122aaaa，其中51a。解：21122aaaa=211aaaa…①=)1(1aaaa…②=a2…③当51a时，原式=10…④上面的解答是不正确的，请你写出错在哪一步，并把正确的解答写出来。错误是思维的源泉，法国数学家阿达玛说过，即使是优秀的数学家也经常犯错误，只不过他们能很快地发现并纠正错误。让学生寻找错误就是给学生设置疑问、激发思维，训练学生的思维能力。解析：上面的解答错在第②步。解答如下：∵当51a时，a1＞a，∴a1-a＞0，LO'OP'PBAC∴原式=211aaaa=aa1aa1=)1(1aaaa=2a=52。师追问：什么情况下aa1？什么情况下aa1呢？听到这个问题，学生觉得没有什么难度，纷纷发表意见。最初，学生只分三种情况：当1a时，aa1；当1a时aa1；当1a时，aa1。师问：对于小于1的所有实数都为aa1吗？并指导学生用“数值代入”的方法来尝试验证并重新分类。结论：1a时，aa1；1a时，aa1；01a时，aa1；10a时，aa1；1a时，aa1；1a时，aa1。至此，应该说已经完成了该题所要考查的知识点的学习了，然而我的思维并未停止，上述结果也可表示为：1a或10a时，aa1；01a或1a时，aa1；1a时，aa1。根据这种结果的形式，我想，能否用函数模型来解释该结论，从而实现数形的有机结合呢？何不以此为契机启发学生进行思考呢？问题一提出来，学生们立即来了兴趣，经过师生进行共同探讨，最终得到下面的函数模型：设ax，ay1，则xy1，其图象为：y=1x(-1,-1)(1,1)PQMNABO在图象上取A（-1，-1）、B（1，1），过A、B两点分别向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴形成两个矩形AMON和BPOQ。如图，当1x时，矩形AMON和矩形BPOQ为正方形，yx1a时，aa1；当1x或10x时，yx1a或10a时，aa1；当01x或1x时，yx1a或10a时，aa1。于是借助图象的形象直观性，加深了学生对这一易错的知识点的理解，同时也给学生提供了函数建模的方法。可谓是“一探究竟不畏难，一举多得收获丰！”我们知道，“数学是思维的体操”。教师应当善于挖掘各种教学资源，一道习题的解析、学生的一句话、生活中的一件小事，都可以引起我们的质疑，给我们以启发，从而用来激发学生的思考，启迪学生的思维，引领学生在知识间穿梭遨游。这样，我们的数学课堂将会成为思维的殿堂，充满奇趣和奥妙，而我们的学生，也将会在获得知识的同时，也收获了思想。