初中数学提高讲义-方案型应用题

1数学讲义2：二元一次方程组解应用题——方案型应用题引入至今我们已经学过了用方程（包括一元一次方程、二元一次方程组）、不等式（一元一次不等式）来解决相应应用问题的方法。但在实际的应用问题中往往不会明确要求用方程还是不等式求解，因此就需要我们自己去分辨。分辨的方法，简而言之就是见到不等关系列不等式，见到等量关系列方程。我想这对各位而言应该没有太大的难度。应用题中最难的部分实际在设元上，间接设元和辅助设元的方法都是平时课内没有细讲的。但这不是本讲的重点，我们会在后面专门讲间接设元和辅助设元的方法。现在回到正题，我们所遇到的方案问题不过以下两种，我们依次来看：方程特殊解造成的方案问题同样拿一个例子来看：例1：若大军买了数支10元及15元的圆珠笔，共花费90元，则这两种圆珠笔的数量可能相差_________支分析：不难列出方程（省略设元）：10x+15y=90，仅有一个二元一次方程我们显然无法求出他的解。不过，由于买的是圆珠笔，因此便隐含其数量都应为“正整数”这一条件。于是我们不难试出结果为x=6，x=3两组，因此两者可能相y=2y=4差4支或1支。试的方法我想各位都会，但未免粗糙，如果问题复杂的话就不太好试了因此这里向各位介绍一下一般的方法。题目中有一个鲜明的特点，那就是两个未知数，却只有一个方程，而最终的解是结合未知数需取正整数解而确定下来的。事实上，像这样未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（整数或正整数等）的方程或方程组我们把它称作不定方程．．．．问题。再回过头看例1，由于只有一个方程，所以只能“解”出一个未知数（不妨解x），当然前提是我们把剩余的未知数（y）全都看为常数。于是我们得到解：392xy，我们可以看到x的解中y的系数分母为2，因此为了满足x、y均为正整数这一隐含条件，我们必须让y取2的倍数，分别代入2、4、6……即可。与直接试的方法相比，这样做的好处在于试的时候更有针对性，也更有条理，不易遗漏。完成下面的练习，把直接试数法与以上方法进行比较，看看哪个方法更好。练习1：某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有种购买方案，分别为__________________思考1：书P53~54讲的“百鸡问题”。事实上，这也是一个不定方程问题，试着去完成它，你就会更好的看出以上方法的优势。2不等式（组）特殊解造成的方案问题我们常遇到的第二类问题是由不等式组的限定导致的方案问题，此类问题往往是综合了不等式、方程组和方案讨论于一身的综合型应用题。因此，这类题目往往“占地面积较大”，让人一看就心里发怵。但实际上只要择清题目中的等量关系和不等关系，题目其实并不难，只不过有一点点计算量罢了。以下来看一个标准而典型的例子：例2：某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元。（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？分析：“”为等量关系，对应方程组；“”为不等关系，对应不等式；“”也对应等量关系，但是用于设未知数，不列出方程。第二问所问的“方案”，实际上就是问买电脑机箱和液晶显示器的台数，一组就是一种方案。最大利润的方案则可通过计算比较得知。下面是最简略．．．的步骤：解：（1）设每台电脑机箱进价x元，每台液晶显示器进价y元。10x+8y=7000①2x+5y=4120②解得：x=60y=800答：每台电脑机箱进价60元，每台液晶显示器进价800元（2）设可以．．买电脑机箱x台，则可以买液晶显示器(50-x)台。60x+800(50-x)≤22240①10x+160(50-x)≥4100②解得：x≥24x≤26∴不等式组的解集为24≤x≤26∴不等式组的整数解为x=24,25,26当x=24时，50-x=26，利润为：10x+160(50-x)=4400（元）当x=25时，50-x=25，利润为：10x+160(50-x)=4250（元）当x=26时，50-x=24，利润为：10x+160(50-x)=4100（元）∵410042504400∴方案1获利最大答：共有3种方案，方案1：买进电脑机箱26台，液晶显示器24台方案2：买进电脑机箱25台，液晶显示器25台方案3：买进电脑机箱24台，液晶显示器26台其中方案1获利最大，最大利润为4400元。■通过例子可以看到，这样的问题其实思路非常清晰，整个过程分为以下三个步骤：①列方程组求解；②列不等式求方案；③方案讨论。题目的最大问题往往出现在书写格式上，各位不仅要会，还要能写明白，因此要认真看清每一步所必3须书写的最少内容。完成以下练习，注意计算准确性及清晰的书写过程：练习2：为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备。现有A、B两种型号的设备，月污水处理能力及年消耗费用如下表：A型B型月污水处理能力（吨/台）240200年消耗费用（万元/台）11若购进6台A型设备和2台B型设备需花92万元；购进4台A型设备和3台B型设备需花78万元。经预算，企业的购买资金不超过105万元。（1）求每台A、B型设备的售价（2）企业有哪几种购买方案？（3）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约购买资金，应选择哪种购买方案？（4）在（3）的前提下，如果每台设备的使用寿命是10年，污水厂处理污水费用为每吨10元。试计算该企业自己处理污水与让污水处理厂处理相比较，10年可节约多少万元？（企业处理污水的费用包括购买资金和消耗费用）4事实上通过练习我们就可以看到，方案型应用题虽然大体分为三部分，但不同的题目又有着不同的差异，因此这类题目中也会出现开放性的问题。这就需要各位自己去慢慢体会了。习题21、李林拿了10元钱去买笔记本和作业本。笔记本8角一个，作业本6角一个，结账时发现钱不够，他又向同学张强借了4角才刚好够钱。则李林可能能买了多少个本？2、我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%，90%．（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．3、建华小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元．（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？（2）若该小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，则有哪几种建造方案？（3）已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元．在（2）的条件下，新建停车位全部租出．若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，请直接写出该小区选择的是哪种建造方案？54、深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台；运往A、B两馆的运费如表1：表1甲地乙地A馆800元/台700元/台B馆500元/台600元/台（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费y（元）与x（台）的关系式；表2甲地乙地A馆x（台）_______（台）B馆_______（台）_______（台）（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；（3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？65、2010年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨．有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨．从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：到凤凰社区供水点的路程（千米）运费（元/吨·千米）甲厂2012乙厂1415（1）若某天调运水的总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？（2）若要求付给甲厂的总运费比付给乙厂的总运费少，则至多可从甲厂运多少吨水？（从两厂运的水量均为整吨数）（3）设从甲厂调运饮用水x吨，总运费为W元．试用含x的代数式表示W，并说明怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？