初中数学基本概念(2013版)

真正的决胜是意志与心理的较量！1初中常用的概念、公式和定理(2013版）1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，-，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数．只有实数才与数轴上的点一一对应。2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14．3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．（倒数、相反数）4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5．（有效数学字往往和科学计数法结合起来考查我们）6、整式的乘除法：①几个单项式相乘除，系数与系数相乘除，同底数的幂结合起来相乘除．②单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一个项．③多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项．④多项式除以单项式，将多项式的每一项分别除以这个单项式．（单项式、多项式的次数、系数）（字母表示数的注意点）7、幂的运算性质：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑥a－n＝na1，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝27a9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)º＝1，(－)0＝1．8、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．9、选择因式分解方法的原则是：先看能否提公因式．在没有公因式的情况下：二项式用平方差公式，三项式用十字相乘法(特殊的用完全平方公式)，三项以上用分组分解法．注意：因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．（因式分解一定要注意最后是乘积的形式）10、分式的运算：乘除法要先把分子、分母都分解因式，并颠倒除式，约分后相乘；加减法应先把分母分解因式，再通分(不能去分母)．注意：结果要化为最简分式．11、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如：①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念）还有什么是同类二次根式？只要能化简后初开方数相同的二次根式。什么是最简二次根式？不含分母，不能再次化简。12、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0：①求根公式是x＝，其中＝b2－4ac叫做根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．③若方程有两个实数根x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝。注意一元二次方程与二次函数是一对亲兄弟！13、解分式方程(去分母或换元)必须检验．一般方程的是“检验-----”而应用题应该是“经检验—”这里要说明的是分式方程应用题的检验首先是检验解是不是方程的解，然后再检验是否符合实际。14、不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．（等式的性质：两边同乘以或除以一个真正的决胜是意志与心理的较量！2不为零的数，等式成立））不等式组的解集有四种情况你是否已经记清了。不等式往往会和一次函数、二次函的结合起来，一般来讲，题目中有不超过、不少于等明显的提示用语的就表示要用不等式，不等式与一次函相结合时，要注意先讨论K的正负，先根据K的正负来判断其增减性，然后再确定实际问题中的K的取值下结论。但地二次函数与不等式结合时，往往要结合图像去解，这时一定要画出图像去根据图像观察。15、平面直角坐标系：①各限象内点的坐标如图所示．②横轴(x轴)上的点，纵坐标是0；纵轴(y轴)上的点，横坐标是0．③关于横轴对称的两个点，横坐标相同(纵坐标互为相反数)；关于纵轴对称的两个点，纵坐标相同(横坐标互为相反数)；关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标都互为相反数．16、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点．17、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反（一定要强调在同一象限内，常见的方法是画图或举例子）反比例函数往往会和面积相结合，这时候要注意K所在象限及正负情况．18、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象叫做抛物线(c是抛物线与y轴的交点的纵坐标)．①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．②顶点坐标是(－，)，对称轴是直线x＝－．特别：抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是：直线x＝h．注意：求解析式的设法①已知三个点的坐标，则设为一般形式y＝ax2＋bx＋c；②已知顶点坐标(h，k)，则设为顶点式y＝a(x－h)2＋k；③已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)和(x2，0)，则设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)（交点式一般不能把其作为最后的结果，也就是说最后要化成一般式为好！）二次函数是中考的难点，也是得分点，需要同学灵活运用。它与初中任何知识点都可以结合成综合题。19、抛物线与x轴的位置关系：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c①△＜0时，它与x没有交点．②△＝0时，它与x轴只有一个交点(与x轴相切)．③△＞0时，它与x轴有两个交点(x1，0)和(x2，0)，其中x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．20、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．（2）公式：设有n个数x1，x2，…，xn，那么：①平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)．②方差S2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2．④若将n个数x1，x2，…，xn各减去一个适当的数a，得到一组新数x1，，x2，，…，xn，，那么原来那组数的方差S2＝这组新数的方差，平均数＝a＋．方差越大，这组数据的波动就越大．通常用样本方差去估计总体方差，用样本平均数去估计总体平均数．方差的算术平方根叫做标准差．数学据的加减不改变方差，数据的乘除N倍，则方差就扩大或缩小N的平方倍。方差是最易与当前的热点问题相结合的。（3）频率：①把一组数分成若干个小组，组距＝(最大值－最小值)÷组数(求组数时，用收尾法取整数)，真正的决胜是意志与心理的较量！3这时，落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数，每一小组的频数与数据总个数的比值叫做这一小组的频率．因此，各组的频率的和等于1．（4）概率：首先是等可能事件。这里请同学们注意概率一般包括两种，一种是可放回的概率，另一种是不可放回的概率，而放回与不放回的概率最简单的问题是直接告诉我们，而更多的是生活中不放回的概率，比如说吃粽子，或贴卡通画等，这里考得最多的是生活中的概率，所以请同学要先审题确定是属于哪一种概率，而概率的表示，可以是树状图，也可以是列表格，一般最好是列表格。概率的问题一般不会与函数或几何图形相结合。但会考查你的生活应用能力。21、锐角三角函数：①设∠A是Rt△的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA＝-，∠A的正切：tanA＝，并且sinA＝cosB，tanA＝cotB，sin2A＋cos2A＝1．0＜sinA＜1，-0＜cosA＜1，tanA＞0，∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，cos(90º－A)＝sinA，③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝，sin60º＝cos30º＝，④斜坡的坡度i＝＝．设坡角为α，则i＝tanα＝．三角函数值必须记清。22、三角形：（1）在一个三角形中：等边对等角，等角对等边．（2）证明两个三再形全等的方法有：SAS，AAS，ASA，SSS，HL．（3）在Rt△中，斜边上的中线等于斜边的一半．（4）证明一个三角形是直角三角形的方法有：①先证明有一个角等于90º．②先证明最长边的平方等于另两边的平方和．③先证明一条边的中线等于这条边的一半（不好直接用，证①）．（5）三角形的中位线平行于笫三边，并且等于笫三边的一半．（6）等腰三角形中，顶角的平分线与底边上的中线和高线互相重合．（三线合一）23、四边形：（1）n边形的内角和等于(n－2)180º，外角和等于360º．（2）平行四边形的性质：对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分（3）证明一个四边形是平行四边形的方法有：①先证两组对边平行．②先证两组对边相等．③先证一组对边平行且相等．④先证两条对角线互相平分．（4）矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线互相垂直平分，并且四条边相等．（5）证明一个四边形是矩形的方法有：①先证明它有三个角是直角．②先证它是平行四边形，再证它有一个角是直角或对角线相等．（6）证明一个四边形是菱形的方法有：①先证明它的四条边相等．②先证它是平行四边形，再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直．（7）正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质．（8）梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半．（9）轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正方形，正多边形，圆．中心对称图形有：线段，平行四边形，矩形，菱形，正方形，边数是偶数的正多边形，圆．真正的决胜是意志与心理的较量！424、证明两个三角形相似的方法有：①先证两组对应角相等．②先证两边对应成比例并且夹角相等．③先证三边对应成比例．相似三角形的性质：对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比，周长的比，都等于相似比．面积的比等于相似比的平方．25、比例的概念：比例外项、比例内项、比例中项、第四比例项、黄金分割点26、射影定理（不能直接使用）：如图3，△ABC中，若∠ACB＝90º，CD⊥AB，则：①AC2＝AD·AB．-②BC2＝BD·BA．③DC2＝DA·DB．27、圆的有关性质：（1）垂径定理：如果一条直线具备以下两个性质：①经过圆心；②垂直弦；那么这条直线就具有另外三个性质．③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧（3）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它所对应的其余三组量都分别相等．（4）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（6）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（8）同弧或等弧所对的圆周角相等．（9）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（10）90º的圆周角所对的弦是直径．28、直线和圆的位置关系：（1）若⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，则：①d＜r直线L和⊙O相交．②d＝r直线L和⊙O相切．③d＞r直线L和⊙O相离．（2）切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．反之：切线垂直过切点的半径．（3）切线长定理（4）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．（5）Rt△的内切圆的半径R内＝，任意多边形的内切圆的半径与面积和周