初中数学竞赛专题选讲对称式(含答案)

初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1.在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量x,y,z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y，xy，x3+y3+z3－3xyz,x5+y5+xy,yx11，xyzxzxyzzyxyzyx.都是对称式.其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.2.在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量x,y,z循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b),2x2y+2y2z+2z2x,abccba1111，（xy+yz+zx）()111zyx，222222222111bacacbcba.都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2.对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x,y,z的齐二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2,z2两项；如含有xy项，则必同时有yz,zx两项，且它们的系数，都分别相等.故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx)其中m,n是常数.3.轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b一项,必有同型式b－c和c－a两项.4.两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.例如：∵x+y,xy都是对称式，∴x+y＋xy，（x+y）xy，xyyx等也都是对称式.∵xy+yz+zx和zyx111都是轮换式，∴zyx111＋xy+yz+z，（zyx111）（xy+yz+z）.也都是轮换式..二、例题例1.计算：（xy+yz+zx）()111zyx－xyz()111222zyx.分析：∵（xy+yz+zx）()111zyx是关于x,y,z的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy分别乘以x1，y1，z1连同它的同型式一齐写下.解：原式＝（zxyyzxxyz＋）＋（z+x＋y）+(y+z+x)－(zxyyzxxyz　＋)＝2x+2y+2z.例2.已知：a+b+c=0,abc≠0.求代数式222222222111bacacbcba的值分析：这是含a,b,c的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式.解：∵2221cba＝222)(1baba＝ab21，∴222222222111bacacbcba＝－ab21－bc21－ca21＝－abcbac2＝0.例3.计算：（a+b+c）3分析：展开式是含字母a,b,c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4.解：设（a+b+c）3＝m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.（m,n,p是待定系数）令a=1,b=0,c=0.比较左右两边系数得m=1；令a=1,b=1,c=0比较左右两边系数得2m+2n=8；令a=1,b=1,c=1比较左右两边系数得3m+6n+p=27.解方程组27638221pnmnmm得631pnm∴（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.例5.因式分解：①a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)；②（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5.解：①∵当a=b时，a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝0.∴有因式a－b及其同型式b－c,c－a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a－b）(b－c)(c－a)，可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝m(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a)比较左右两边a3b的系数，得m=－1.∴a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)＝－(a+b+c)（a－b）(b－c)(c－a).②x=0时，（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝0∴有因式x，以及它的同型式y和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝xyz［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令x=1,y=1,z=1.比较左右两边系数，得80=m+n；=1,y=1,z=2.比较左右两边系数，得480=6m+n.解方程组480680nmnm得080nm.∴（x+y+z）5－（y+z－x）5－（z+x－y）5－（x+y－z）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1.已知含字母x,y,z的轮换式的三项x3+x2y－2xy2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿2.已知有含字母a,b,c,d的八项轮换式的前二项是a3b－(a－b)，试接着写完全代数式_________________________________.3.利用对称式性质做乘法，直接写出结果：①（x2y+y2z+z2x）（xy2+yz2+zx2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.②（x+y+z）（x2+y2+z2－xy－yz－zx）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4.计算：（x+y）5.5.求（x+y）(y+z)(z+x)+xyz除以x+y+z所得的商.6.因式分解：①ab(a－b)+bc(b－c)+ca(c－a)；②(x+y+z)3－(x3+y3+z3)；③（ab+bc+ca）(a+b+c)－abc；④a(b－c)3+b(c－a)3+c(a－b)3.7.已知：abccba1111.求证：a,b,c三者中，至少有两个是互为相反数.8.计算：bcacabaa22＋cababcbb22＋abcbcacc22.9.已知：S＝21（a+b+c）.求证：16)(416)(416)(4222222222222222bacacacbcbcbaba＝3S（S－a）(S－b)(S－c).满足等式x=1+y1和y=1+x1且xy≠0，那么y的值是（）（A）x－1.（B）1－x.（C）x.（D）1+x.参考答案1.y3+z3+y2z+z2x－2y2z－2z2x2.b3c+c3d+d3a－(b－c)－(c－d)－(d－a)3.②x3+y3+z3－3xyz4.设(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3),a=1,b=5,c=10.5.设原式＝（x+y+z）［a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx)］,a=0,b=1.6.③当a=－b时，原式＝0，原式＝m(a+b)(b+c)(c+a)m=17.由已知等式去分母后，使右边为0，因式分解8.19.一个分式化为S（S－a）(S－b)(S－c)10.选C