初中数学竞赛辅导资料(18)正整数简单性质的复习含答案

271初中数学竞赛辅导资料(18)正整数简单性质的复习甲.连续正整数一.n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么n位数的个数共__________.(n是正整数)练习：1.一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.2.由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.3.除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______个.4.从1到100的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个；从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.二.连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2n.把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.6.1+3+5+……+99=____________.7.5+10+15+……+100=_________.8.1+4+7+……+100=____________.9.1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______10.和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.11.和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.三.由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习：12.整数1234……9991000各位上的数字和是_____________.13.把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：位198011121234567891这个数用9除的余数是__________.(1987年全国初中数学联赛题)14.由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：①它是一个________位数；②它的各位上的数字和等于________；③从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么剩下的数的前十位是___________________________.四.连续正整数的积：①1×2×3×…×n记作n!读作n的阶乘.②n个连续正整数的积能被n!整除.如：2!|a(a+1),3!|a(a+1)(a+2),n!|a(a+1)(a+2)…(a+n－1).a为整数.272③n!中含有质因数m的个数是mn+2mn+…+imn.[x]表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3…mi≤n如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：2310310=3+1=4练习：15.在100!的积中，含质因数5的个数是：____16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个(1988年全国初中数学联赛题)17.求证：10494|1989!18.求证：4!|a(a2－1)(a+2)a为整数五.两个连续正整数必互质练习：19.如果n+1个正整数都小于2n,那么必有两个是互质数，试证之.乙.正整数十进制的表示法一.n+1位的正整数记作：an×10n+an－1×10n－1+……+a1×10+a0其中n是正整数，且0≤ai≤9(i=1,2,3,…n)的整数,最高位an≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233.试证：A能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵100的任何次幂除以9的余数都是1，即100n=(99+1)n≡1(mod9)∴A=99k+12+13+14+……+31+32+33(k为正整数)=99k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99k+99×5.∴A能被99整除.练习：20.把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除二.常见的一些特例99999个n=10n－1,33333个n=31(10n－1),9111111个n(10n－1).例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n个数是2122221111个个nn=)110(91n×10n+)110(92n=)110(91n(10n+2)=331103110nn273=)13110(3110nn=33333个n×433333)1(个n.证毕.练习：21.化简99999个n×99999个n+199999个n=_______________________________.22.化简2122222-1111个个nn=____________________________________________.23.求证119901111个是合数.24.已知：存在正整数n,能使数11111个n被1987整除.求证：数p=11111个n99999个n88888个n77777个n和数q=111111个n919999个n818888个n717777个n都能被1987整除.(1987年全国初中数学联赛题)25.证明：把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26.求证：11111个n×1010000个n5+1是完全平方数.丙.末位数的性质.一.用N(a)表示自然数的个位数.例如a=124时，N(a)=4；a=－3时，N(a)=3.1.N(a4k+r)=N(ar)a和k都是整数，r=1,2,3,4.特别的：个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9的正偶数次幂的个位数也是它本身.2.N(a)=N(b)N(a－b)=010|(a－b).3.若N(a)=a0,N(b)=b0.则N(an)=N(a0n)；N(ab)=N(a0b0).例题1：求①53100；和②777的个位数.解：①N(53100)=N(34×24+4)=N(34)=1②先把幂的指数77化为4k+r形式，设法出现4的因数.77=77－7+7=7(76－1)+4+3=7(72－1)(74+72+1)+4+3=7×4×12×(74+72+1)+4+3=4k+3∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27.19891989的个位数是______，999的个位数是_______.28.求证：10|(19871989－19931991).29.2210×3315×7720×5525的个位数是______.274二.自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，22，32，……，102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1.用这一性质计算连续整数平方的个位数的和例题1.填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.(1991年全国初中数学联赛题)解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45.所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.2.为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2.求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：(n－2)2+(n－1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2(n,k都是整数)5(n2+2)=k2.∵k2是5的倍数，k也是5的倍数.设k=5m,则5(n2+2)=25m2.n2+2=5m2.n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么n2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.∴假设不能成立∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.3.判断不是完全平方数的其他方法例题3.已知：a是正整数.求证：a(a+1)+1不是完全平方数证明：∵a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整数∴a2a(a+1)+1=a2+a+1(a+1)2，∵a和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平方之间∴a(a+1)+1不是完全平方数例题4.求证：11111个n(n1的正整数)不是完全平方数证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但11111个n=1100111112-个n=4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3即11111个n除以4余数为3，而不是1，∴它不是完全平方数.例题5.求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1=4(a2+b2+a+b)+2.这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.275三.魔术数：将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N称为魔术数.常见的魔术数有：a)能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5(即10的一位正约数是魔术数)b)能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))c)能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30.在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.(1986年全国初中数学联赛题)四.两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9.练习：31.已知：n是自然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：___________________.(1985年上海初中数学竞赛题)丁.质数、合数1.正整数的一种分类：).1(.)1(1然数整除和本身外还能被其他自除合数；然数整除和本身外不能被其他自除质数；2.质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.3.互质数：是指公约数只有1的两个正整数.相邻的两个正整数都是互质数.例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.一般地，要写出n个连续自然数，个个是合数，可用令m=n+1,那么m!+2,m!+3,m!+4,+……+m!+n+1就是所求的合数.∵m!+i(2≤i≤n+1)有公约数i.练习：32.已知质数a，与奇数b的和等于11，那么a=___,b=___.33.两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.