初中数学解题-公式

1初中数学竞赛辅导资料——公式编辑：沈宇喆甲内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+…＋abn－2+bn－1)=an－bn4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时an－bn能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。2乙例题例1.己知x+y=axy=b求①x2+y2②x3+y3③x4+y4④x5+y5解：①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4)=(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］=a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］＝a5－5a3b+5ab2例2.求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。证明：设这四个数分别为a,a+1,a+2,a+3(a为整数)a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数∴a2+3a+1是整数证毕例3.求证：2222＋3111能被7整除证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111根据a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）∴4111＋3111能被4＋3整除∴2222＋3111能被7整除例4.由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。如：152=225幂的百位上的数字2=1×2)，252=625(6=2×3)，352=1225(12=3×4)452=2025(20=4×5)……丙练习151．填空：①a2+b2=(a+b)2－_____②(a+b)2=(a－b)2+___③a3+b3=(a+b)3－3ab(___)④a4+b4=(a2+b2)2－____,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－_____⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－____2．填空：①(x+y)(___________)=x4－y4②(x－y)(__________)=x4－y4③(x+y)(___________)=x5+y5④（x－y）(__________)=x5－y53.计算：3①552=②652=③752=④852=⑤952=4.计算下列各题，你发现什么规律⑥11×19=⑦22×28=⑧34×36=⑨43×47=⑩76×74=5..已知x+x1=3,求①x2+21x②x3+31x③x4+41x的值6.化简：①（a+b）2(a－b)2②(a+b)(a2－ab+b2)③(a－b)((a+b)3－2ab(a2－b2)④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)7.己知a+b=1,求证：a3+b3－3ab=18.己知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值9.求证：233＋1能被9整除10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a,b,c①求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长②求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。练习154.十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积8.n(n+1)+(n+1)=(n+1)29.①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0②2(ab+ac+bc)abc4初中数学竞赛辅导资料——二元一次方程的整数解甲内容提要1，二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解显然a,b互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。2，二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y=yyyy2515101(1),设kky(51是整数），则y=1-5k(2),把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是kykx51211（k是整数）方法二，公式法：设ax+by=c有整数解00yyxx则通解是akyybkxx00（x0,y0可用观察法）3，求二元一次方程的正整数解：①出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值②用观察法直接写出。乙例题例1求方程5x－9y=18整数解的能通解解x=53235310155918yyyyy设ky53（k为整数），y=3－5k,代入得x=9－9k∴原方程整数解是kykx5399（k为整数）又解：当x=o时，y=－2，5∴方程有一个整数解20yx它的通解是kyyx5290（k为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例2，求方程5x+6y=100的正整数解解：x=52056100yyy(1)，设ky5(k为整数)，则y=5k,(2)把（2）代入（1）得x=20-6k，∵00yx解不等式组050620kk得0＜k620,k的整数解是1，2，3，∴正整数解是514yx108yx152yx例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得3x+5y=38（x,y都是正整数）∵x＝1时，y=7，∴71yx是一个整数解∴通解是kykx3751（k为整数）解不等式组037051kk得解集是3751k∴整数k=0，1，2把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解71yx46yx111yx答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。丙练习101，求下列方程的整数解①公式法：x+7y=4,5x-11y=3②整除法：3x+10y=1,11x+3y=42,求方程的正整数解：①5x+7y=87,②5x+3y=1103，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4，兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。5，下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）6①4x＋2y=11,②10x-5y=70,③9x+3y=111,④18x-9y=98,⑤91x-13y=169,⑥120x+121y=324.6,一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？7．用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：y=14－2x=371y练习101.公式法①由特解04yx得通解kykx074（k为整数）②由特解25yx得通解kykx52115（为k整数）整除法①∵x=3101y=31y-3y,……∴通解是kykx31310（k为整数）②通解是kykx11513（k为整数）2.①11669112yxyxyx②kykx50322－0322＜＜k……3.有6种截法345乙＝甲＝2810乙＝甲＝2215乙＝甲＝1620乙＝甲＝1025乙＝甲＝519乙＝甲＝4.16，135.A，D.6.127.（略）7初中数学竞赛辅导资料——二元一次方程组解的讨论甲内容提要1．二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种：①当212121ccbbaa时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）②当212121ccbbaa时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）③当2121bbaa（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：1221211212211221babaacacybababcbcx（这个解可用加减消元法求得）2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）乙例题例1.选择一组a,c值使方程组cyaxyx275①有无数多解，②无解，③有唯一的解解：①当5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解解比例得a=10,c=14。②当5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。解得a=10,c≠14。③当5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。例2.a取什么值时，方程组3135yxayx的解是正数？解：把a作为已知数，解这个方程组8得23152331ayax∵00yx∴023150