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初二一元二次方程根与系数的关系习题[准备知识回顾]:1、一元二次方程)0(02acbxax的求根公式为)04(2422acbaacbbx。2、一元二次方程)0(02acbxax根的判别式为:acb42(1)当0时,方程有两个不相等的实数根。(2)当0时,方程有两个相等的实数根。(3)当0时,方程没有实数根。反之:方程有两个不相等的实数根,则;方程有两个相等的实数根,则;方程没有实数根,则。[韦达定理相关知识]1若一元二次方程)0(02acbxax有两个实数根21xx和,那么21xx,21xx。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理。2、如果一元二次方程02qpxx的两个根是21xx和,则21xx,21xx。3、以21xx和为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212xxxxxx4、在一元二次方程)0(02acbxax中,有一根为0,则c;有一根为1,则cba;有一根为1,则cba;若两根互为倒数,则c;若两根互为相反数,则b。5、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式cbxax2的因式时,如果可用公式求出方程)0(02acbxax的两个根21xx和,那么))((212xxxxacbxax.如果方程)0(02acbxax无根,则此二次三项式cbxax2不能分解.[基础运用]例1:已知方程02)1(32xkx的一个根是1,则另一个根是,k。解:变式训练:1、已知1x是方程0232kxx的一个根,则另一根和k的值分别是多少?2、方程062kxx的两个根都是整数,则k的值是多少?例2:设21xx和是方程03422xx,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值:(1)2221xx(2))1)(1(21xx(3)2111xx(4)221)(xx变式训练:1、已知关于x的方程01032kxx有实数根,求满足下列条件的k值:(1)有两个实数根。(2)有两个正实数根。(3)有一个正数根和一个负数根。(4)两个根都小于2。2、已知关于x的方程022aaxx。(1)求证:方程必有两个不相等的实数根。(2)a取何值时,方程有两个正根。(3)a取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大。(4)a取何值时,方程到少有一根为零?选用例题:例3:已知方程)0(02acbxax的两根之比为1:2,判别式的值为1,则ba与是多少?例4、已知关于x的方程05)2(222mxmx有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求m的值。例5、若方程042mxx与022mxx有一个根相同,求m的值。基础训练:1.关于x的方程0122xax中,如果0a,那么根的情况是()(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根(D)不能确定2.设21,xx是方程03622xx的两根,则2221xx的值是()(A)15(B)12(C)6(D)33.下列方程中,有两个相等的实数根的是()(A)2y2+5=6y(B)x2+5=25x(C)3x2-2x+2=0(D)3x2-26x+1=04.以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是()(A)y2+5y-6=0(B)y2+5y+6=0(C)y2-5y+6=0(D)y2-5y-6=05.如果x1,x2是两个不相等实数,且满足x12-2x1=1,x22-2x2=1,那么x1·x2等于()(A)2(B)-2(C)1(D)-16.关于x的方程ax2-2x+1=0中,如果a0,那么根的情况是()(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根(D)不能确定7.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,则x12+x22的值是()(A)15(B)12(C)6(D)38.如果一元二次方程x2+4x+k2=0有两个相等的实数根,那么k=9.如果关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是10.已知x1,x2是方程2x2-7x+4=0的两根,则x1+x2=,x1·x2=,(x1-x2)2=11.若关于x的方程(m2-2)x2-(m-2)x+1=0的两个根互为倒数,则m=.二、能力训练:1、不解方程,判别下列方程根的情况:(1)x2-x=5(2)9x2-62+2=0(3)x2-x+2=02、当m=时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根;当m=时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;3、已知关于x的方程10x2-(m+3)x+m-7=0,若有一个根为0,则m=,这时方程的另一个根是;若两根之和为-35,则m=,这时方程的两个根为.4、已知3-2是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值。5、求证:方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1-5和1+5。7、设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值:(1)(x1+1)(x2+1)(2)x2x1+x1x2(3)x12+x1x2+2x18、如果x2-2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式,则m=;9、方程2x(mx-4)=x2-6没有实数根,则最小的整数m=;10、已知方程2(x-1)(x-3m)=x(m-4)两根的和与两根的积相等,则m=;11、设关于x的方程x2-6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为;12、设方程4x2-7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程,求下列各式的值:(1)x12+x22(2)x1-x2(3)21xx(4)x1x22+12x113、实数s、t分别满足方程19s2+99s+1=0和且19+99t+t2=0求代数式st+4s+1t的值。14、已知a是实数,且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x2+2ax+1-12(a2x2-a2-1)=0有无实根?15、求证:不论k为何实数,关于x的式子(x-1)(x-2)-k2都可以分解成两个一次因式的积。16、实数K在什么范围取值时,方程0)1()1(22kxkkx有实数正根?训练(一)1、不解方程,请判别下列方程根的情况;(1)2t2+3t-4=0,;(2)16x2+9=24x,;(3)5(u2+1)-7u=0,;2、若方程x2-(2m-1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值范围是;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+3和2-3,则p=,q=;4、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m=;5、若方程x2+mx-1=0的两个实数根互为相反数,那么m的值是;6、m,n是关于x的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根,则代数式mn=。7、已知关于x的方程x2-(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;8、如果α和β是方程2x2+3x-1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别等于α+1β和β+1α;9、已知a,b,c是三角形的三边长,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证:这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x2-(4k+1)x+2k2-1可因式分解.11.已知关于X的一元二次方程m2x2+2(3-m)x+1=0的两实数根为α,β,若s=1α+1β,求s的取值范围。训练(二)1、已知方程x2-3x+1=0的两个根为α,β,则α+β=,αβ=;2、如果关于x的方程x2-4x+m=0与x2-x-2m=0有一个根相同,则m的值为;3、已知方程2x2-3x+k=0的两根之差为212,则k=;4、若方程x2+(a2-2)x-3=0的两根是1和-3,则a=;5、方程4x2-2(a-b)x-ab=0的根的判别式的值是;6、若关于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;7、已知p0,q0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是;8、以方程x2-3x-1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是;9、设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根,求下列各式的值:(1)x12x2+x1x22(2)1x1-1x210.m取什么值时,方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0(1)有两个不相等的实数根,(2)有两个相等的实数根,(3)没有实数根;11.设方程x2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q的值。12.是否存在实数k,使关于x的方程06)74(922kxkx的两个实根21,xx,满足21xx=32,如果存在,试求出所有满足条件的k的值,如果不存在,请说明理由。一元二次方程根与系数关系专题训练主编:闫老师1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2,那么x1+x2=,x1·x2=。2、已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两个根,那么:x1+x2=;x1·x2=;2111xx;x21+x22=;(x1+1)(x2+1)=;|x1-x2|=。3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。4、如果关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是1-2,那么另一个根是,a的值为。5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2,那么k=。6、已知方程2x2+mx-4=0两根的绝对值相等,则m=。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和-1,则q∶p=。8、已知方程x2-mx+2=0的两根互为相反数,则m=。9、已知关于x的一元二次方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0两根互为倒数,则a=。10、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2,且x1+x2=-2,则m=,(x1+x2)21xx=。11、已知方程3x2+x-1=0,要使方程两根的平方和为913,那么常数项应改为。12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为。13、若α、β为实数且|α+β-3|+(2-αβ)2=0,则以α、β为根的一元二次方程为。(其中二次项系数为1)14、已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数,则m=;若方程两根之和与两根积互为相反数,则m=。15、已知方程x2+4x-2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α=;β=;m=。16、已知关于x的方程x2-3x+k=0的两根立方和为0,则k=17、已知关于x的方程x2-3mx+2(m-1)=0的两根为x1、x2,且43x1x121,则m=。18、关于x的方程2x2-3x+m=0,当时,方程有两个正数根;当m时,方程有一个正根,一个负根;当m时,方程有一个根为0。19、若方程x2-4x+m=0与x2-x-2m=0有一个根相同,则m=。20、求作一个方程,使它的两根分别是方程x2+3x-2=0两根的二倍,则所求的方程为。21、一元二次方程2x2-3x+1=0的两根与x2-3x+2=0的两根之间的关系是。22、已知方程5x2+mx-10=0的一根是-5,求方程的另一根及m的值。23、已知2+3是x2-4x+k=0的一根,求另一根和k的值。24、证明:如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数(A、B均为有理数),那么另一个根必是A-B。25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大?0362)2(,053)1(22xxx26、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:x31x2+x1x3227、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:2221x1x12
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