初探中考试题中存在性探求问题的求解策略(李庆银)

初探中考试题中存在性探求问题的求解策略安徽宣城六中李庆银TEL：13865362899探索性问题多年来一直备受各级各类考试的青睐，存在性探求问题是其中极其重要的一种。这类问题常出现“是否存在”“是否变化”等疑问句，以示结论有待判断，证明。由于这类题目较好的检测学生素质和能力，近几年来，在中考试题中，特别是压轴题中经常出现，在竞赛中也时有出现。由于这类题型问题多样，背景丰富，没有固定的解法，解答时需要灵活判断，综合运用基础知识，基本技能和数学思想方法。本文试通过几例，初步探讨解答此类问题的一般策略，思路，方法。一般回答这类问题采用假设—推证---定论。一般是从存在方面入手，寻求结论成立条件，若能找到这个条件，则回答是肯定的，若找不到这个条件或找到的这个条件与已知条件矛盾，则问题的回答是否定的。例题12010年恩施自治州初中毕业及高中招生考试第24题（压轴题）24.(12分)如图11，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy2的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形/POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C/为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.思路与策略：（1）二次函数表达式中有2个未知字母b和c，只要能找到2点或2条件带入即可，由题知将B，C两点坐标代入可求出。（2）在回答是否图11存在P点时，先假设存在，在草稿上用铅笔画出P关于Y轴对称的P′/，根据菱形的性质，对角线互相垂直平分，知道PP′/垂直平分OC，从而知道P的纵坐标，继而求出它的横坐标。（3）假设在抛物线上且在BC下方的P点符合要求，做PE垂直AB于E，交BC于Q，运用面积分割法，得EBQPOEQPOCABSSSSCPQBPQABCABPC212121四边形根据坐标关系和图形知，QP=PE—QE，令P（x，322xx），Q（x，x－3）.，得QP=（x－3）—（322xx）=3x－x2,带入即可，化简成二次函数，用配方法确定顶点即可解决。24、解：（1）将B、C两点的坐标代入得303ccb……………………2分解得：32cb所以二次函数的表达式为：322xxy……………………………3分（2）存在点P，使四边形POP/C为菱形．设P点坐标为（x，322xx），PP/交CO于M若四边形POP/C是菱形，则有PC＝PO．连结PP/则PE⊥CO于M，∴OM=MC=23∴y=23．…………………………………………………6分∴322xx=23解得1x=2102，2x=2102（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（2102，23）…………………………8分（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，322xx），易得，直线BC的解析式为3xy则Q点的坐标为（x，x－3）.EBQPOEQPOCABSSSSCPQBPQABCABPC212121四边形3)3(2134212xx=87523232x……………10分当23x时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为415,23，四边形ABPC的面积875的最大值为．………………12例2．2010年桂林市初中毕业升学考试第26题（压轴题）26．．（本题满分12分）如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线xy3交于点C．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；（2）求S与t的函数关系式；（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．A8COB备用图183xy3yxA8PCEODFBl3yxxy83(本题12分)思路与策略：（1）C是直线AB与OC的交点，根据两点A，B坐标求出直线AB的表达式，后与直线OC表达式联立即可。或利用tan∠A=tan∠COA=3,得出∠A=∠COA=600，△OAC为正三角形，易得C的坐标。（2）在以DE为边向左侧作等边△DEF时，发现F有落在Y轴内，Y轴外，Y轴上可能。首先求出F落在Y轴上时，由线段DE等于D的纵坐标减去E的纵坐标，设它们的横坐标为t,利用前面的知识得D点的坐标是（t，383t），E的坐标是（t，3t）∴DE=383t-3t=8323t在利用300的直角三角形中，600所对的直角边是300所对的直角边的3倍关系，得到它的高是（123t），建立关系，然后分两种情况分别计算，利用不同的图形，在备用图中运用梯形的公式不难得到。（3）中正常情况下等腰三角形有三种可能。在用铅笔直线演绎运动时感觉有的边相等不太可能，从长短来看容易发现FO≥21BO=43，FP≥21BO=43，OP≤4，腰只有可能是FO，FP,且F在Y轴的右侧，假设二者相等，根据对称性知F在OP的垂直平分线上，根据等腰三角形的三线合一的性质知等边△DEF的DE边上的高为：123t，它为OP的一半，建立关系，顺而解出。解（1）C（4，43）……………………………2分t的取值范围是：0≤t≤4………………………………3分（2）∵D点的坐标是（t，383t），E的坐标是（t，3t）∴DE=383t-3t=8323t……………………4分∴等边△DEF的DE边上的高为：123t∴当点F在BO边上时：123t=t，∴t=3……………………5分①当0≤t3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：8323t-233t…7分S=23(83238323)23tttt=14(1633)23tt=273833tt………………………………8分②当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形S=1(8323)(123)2tt…………………9分=233243483tt……………………10分（3）存在，P（247，0）……………………12分说明：∵FO≥43，FP≥43，OP≤4∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,若FO=FP时，t=2（12-3t），t=247，∴P（247，0）例32010年黑龙江鸡西市初中毕业学业考试第28题（压轴题）28.(本小题满分10分）如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,若OA、OC的长满足22230OAOC.⑴求B、C两点的坐标.⑵把△ABC沿AC对折,点B落在点B′处,线段AB′与x轴交于点D,求直线BB′的解析式．⑶在直线BB′上是否存在点P,使△ADP为直角三角形？若存在,请直接写出P点坐标；若不存在,请说明理由.．A8PCEODFBl3yxxy83xB′BAyCDO思路与策略：（1）由非负数的性质知：OA=2，OC=23，易得：B（23，2），C（23，0）.（2）由tan∠1=322=33，所以∠1=300，由翻折知，∠1=∠2=300，推出∠3=300，要求B′的坐标，作B′E垂直Y轴于E，由AB=AB′=23利用300的直角三角板形特殊关系得B′E=3，AE=3，又AO=2，所以B′（3，—1），根据B，B′两点坐标确定一次函数表达式，y=3x—4（3）假设在在直线BB′上有P点，画出草图感受出它的两种可能，由特殊度数和边角关系，∠PAB=300，∠ABB′=600，所以∠P1=300，推出AB=BP1，过P1做AB的垂直线交AB于M，根据300直角三角形性质得BM=3，P1M=3，所以P1（33，5），同理推出P2（335，1），或用两直线的交点问题也可求，既联立两个一次函数的表达式求解。解答过程略。