初等几何研究综合测试题(一)

《初等几何研究》综合测试题（一）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.在ABC中，AB=AC，高BF、CE交于高AD上一点O，图中全等三角形的对数是_____。A.4；B.5；C.6；D.7.2.已知：如图，ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于D,若AB=2，BC=3，则DC的长度是________。A.83；B.23；C.43；D.53。3.下面4个图形中，不是轴对称图形的是_________。A.有两个内角相等的三角形；B.有一个内角是45°的直角三角形；C.有一个内角是30°的直角三角形；D.有一个内角是30°，一个内角是120°的三角形。4.下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是_________。A.一组对边平行，另一组对边相等；B.两组对边分别平行；C.对角线互相平分；D.一组对边平行且相等。5.若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是_________。A.直角梯形；B.等腰梯形；C.平行四边形；D.矩形。第1题图OBCADFE6.下列语句正确的是________。A.圆可以看作是到圆心的距离等于半径的点的集合。B.圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。C.圆的一部分叫做弧。D.能够互相重合的弧叫做等弧。7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。8.下列关于平移的说法中正确的是___________。A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。二、判断题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.如图1，直线a，b，c在同一平面内，a//b，a与c相交于P，则b与c也一定相交。（）2.若两条直线同平行于第三条直线，则这两条直线平行。（）3.若两条直线同垂直于第三条直线，则这两条直线平行。abc图1图2ABCED第2题图BCAD（）4.如图2，AB//CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则AE⊥CE。（）5．任意两个直角三角形都相似。（）三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）1.如果一个三角形中最大角是最小角的4倍，则它的最小角的取值范围是____________。2.在⊿ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，且AD:DC=2:3，BD与CE交于F，40ABCS，则AEFDS四边形=_______。3.如图，∠A=∠C，∠DEC=∠BFA，AF=CE，则图中两个全等的三角形是____________；判定这两个三角形全等的判定定理是_________；这两个全等三角形的对应边是___________。4.等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260°。则这个等腰三角形的顶角等于____________，底角等于________。四、计算题（本题共1小题，8分）已知：如图，在ABC中，∠C=90°，sinA=25,D为AC上一点，∠BDC=45°,DC=6,求AB的长。第2题图GFEBCAD第3题图ACBDEF第四题图ACBD第五题第1小题图ADCEB五、证明题（本题共3小题，共27分）1.如图，已知CE、CB分别是ABC、ADC的中线，且AB=AC。求证：CD=2CE。2．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=31AC，BD=31AB，点F在BC上，且CF=31BC。求证：（1）EF⊥BC；（2）∠ADE=∠EBC。3、已知，如图：AB//CD，求证：AAECC360六、探究题（本题1小题，15分）由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道。有人设计了三种铺设方案：如图中（a），（b）,（c）。图中实线表示管道铺设线路。在(b)中，AD⊥BC于D，在(c)中，OA=OB=OC，为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短。已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好。第六题图(c)(b)(a)BCABABCAODC附：参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1D；2D；3C；4A；5D；6D；7C；8A.二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1√；2√；3√；4√；5×.三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）120°≦∠A≦30°；2AEFDS四边形=11；3.⊿ABF≌⊿CDE；ASA；AB与CD；BF与DE，AF与CE。4.100°；40°四、计算题（8分）解：在BCD中，∠C=90°，∠BDC=45°,∴∠DBC=∠BDC=45°.∴DC=CB,∵DC=6∴CB=6在ABC中，∠C=90°，∵sinA=25=CBAB,∴56152AB.∴AB的长为15.五、证明题（27分）1.如图，已知CE、CB分别是ABC、ADC的中线，且AB=AC。求证：CD=2CE。证明：如图，延长CE至F，使EF=CE，连结BF，可证EBFEAC，∴BF=AC=AB=BD。第四题图ACBD第五题第1小题图ADCFEB又∵∠CBF=∠CBA+∠ABF=∠BCA+∠CAB=∠CBD，BC公用，∴CBFCBD∴CF=CD，即2CE=CD。2．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=31AC，BD=31AB，点F在BC上，且CF=31BC。求证：（1）EF⊥BC；（2）∠ADE=∠EBC。证明：设AB=AC=3a，则AE=BD=a，CF=.2a（1）.3232,32232aaCACFaaCBCE第五题第2小题图又∠C公共，故△BAC∽△EFC，由∠BAC=90°，∴∠EFC=90°，∴EF⊥BC…………4分（2）由（1）得.22222,222,2aaBFADaaEFAEaEF故.BFADEFAE………7分∴∠DAE=∠BFE=90°∴△ADE∽△FBE，…………8分∴∠ADE=∠EBC。…………9分3、已知，如图：AB//CD，求证：AAECC360分析：（1）可利用已知两直线平行，同旁内角互补，两对互补的角的和是360，因此添加辅助线创造两直线平行是关键。证法一：作EFABA//,1180ABCDEFCD//,//2180C12360360ACAAECC,即分析：（2）两直线平行同旁内角互补；再由三角形内角和180，所以边AC，构造三角形。证法二：连AC，ABCD//1218034180,,在中AECE。1234360E即EABAECECD360此题还有其它证法：如利用周角360，或三角形外角定理等。六、探究题（15分）由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道。有人设计了三种铺设方案：如图中（a），（b）,（c）。图中实线表示管道铺设线路。在(b)中，AD⊥BC于D，在(c)中，OA=OB=OC，为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短。已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好。第六题图(c)(b)(a)BCABABCAODC解：图(a)所示方案的线路总长为AB+AC=2a，图(b)方案线路总长为AD+BC=3(1)2a，图（c），延长AO交BC于E，∵AB=AC,OB=OC,∴OE⊥BC,BE=EC=2a，在RtOBE中，∠OBE=30°,OB=3cos303BEa，∴图(c)方案线路总长为33OAOBOCOBa，比较可知，33(1)22aaa，∴图（c）的方案最好。