关于几种插值多项式的比较分析【毕业论文,绝对精品】

l本科生毕业论文开题报告书题目插值方法及其MATLAB实现学生姓名盛克平学号1209402023系别数学与应用数学专业信息与计算科学指导教师刘建国讲师2015年12月11日l目录摘要.........................................IABSTRACT........................................II引言.............................................31、几种常见的插值公式及其构造...................31.1Lagrange插值法...............................41.2Newton插值法..............................71.3Hermite插值法.............................91.4分段低次插值法.........................-1-1.5三次样条插值法.........................-2-2、例题.....................................-3-3、结束语...................................-7-4、参考文献..................................-7-附录1........................................-8-附录2........................................-9-附录3........................................-9-5、致谢：...................................-10-I摘要插值法是数值算法的最基本方法之一，同时也是函数逼近、数值积分、数值微分、微分方程数值解的基础。许多实际问题都需要运用插值法来解决，所以通过介绍几种常见的插值公式及其误差估计，如：Lagrange插值公式、Newton插值公式、Hermite插值公式、分段低次插值公式、三次样条插值公式。讨论和比较它们的实用范围和优缺点。关键词：数值分析插值法插值公式误差MATLABIIABSTRACTInterpolationisoneofthemostbasicmethodofnumericalalgorithm,butalsothefunctionapproximation,numericalintegration,numericaldifferentiation,numericalsolutionofdifferentialequationbased.Manypracticalproblemsneedtosolvebyusingtheinterpolationmethod,sotheintroductionofseveralcommoninterpolationformulaanderrorestimate,suchas:Lagrangeinterpolationformula,Newtonformula,Hermiteformulaofinterpolation,piecewiselow-orderinterpolationformula,threesplineinterpolationformula.Discussandcomparetheirapplicationrangeandadvantagesanddisadvantages.Keywords:NumericalanalysisMethodofinterpolationFormulaofinterpolationErrorMatlab3引言插值法是数值算法的最基本方法之一，同时也是函数逼近、数值积分、数值微分、微分方程数值解的基础。在全球化、信息化浪潮大力推动下，计算机技术得到了迅速的发展。插值法也在生活、工程和科学研究中得到了更为广泛的应用。比如在计算断面的面积、漏磁探伤和曲线拟和等诸多实际问题中，有的函数)(xf虽然给出了解析表达式，但往往过于复杂而难以计算，使用不方便；有的函数)(xf只能给出它在平面上一些离散的点和这些点的函数值，而函数)(xf的具体解析表达式则不能给出，在这样的情况下，选用近似函数)(x来逼近函数)(xf。MATLAB集计算和绘图等功能于一体，操作简单易上手，在数学领域中具有非常重要的地位。在插值法中MATLAB可以通过改变插值函数的参数，来实现不同的插值方式。本文对几种插值法作归纳、总结并比较和讨论几种插值法的优缺点，总结出规律，并给出具体算例及Matlab实现，以便进一步理解插值法，更好地运用其方法解决实际工程问题。1、几种常见的插值公式及其构造插值法是函数插值法的简称，它的基本思想是：构造一个简单便于计算的函数)(x去逼近原函数)(xf，通过计算逼近函数)(x在某一点的值从而得到原函数)(xf在这一点的近似值，而求)(x的方法就称为插值法。下面给出插值函数的一般定义：定义]432,1[，，：已知)(xf（可能未知或表达式非常复杂）是定义在区间],[ba上的函数，在这个区间上有1n个彼此不相同的点xxxxn,......,,,210,且对应的函数值为)(),......,(),(),(210xxxxnffff。寻找一个简单、便于计算的函数)(x，使)(x满足：.,......,2,1,0),()(nkfxxkk通常称],[ba为插值区间，)(xf为被插值函数，)(x为插值函数，xxxxn,......,,,210为插值节点。其中当)(x是多项式时，称为代数插值方法，即多项式插值。若设)(xR为4误差函数或余项，则有)()()(xxfxR.而且)(xR满足关系式:.,......,2,1,0,0)(nkRxk1.1Lagrange插值法已知Lagrange插值是为n次多项式插值，首先考察低次的插值多项式。当1n时，要构造出过两点),(00yx与),(11yx的多项式)(1xL（次数不超过1次且xx10），使得,)(001yxLyxL111)(。则)(1xL可以写成]5,1[：)(1xLy0xxxx101y1xxxx010)1.1(它是两个线性函数)(00xl，xxxx101)(11xlxxxx010的线性组合，所以称)1.1(为线性插值多项式.当2n时，相应的构造出过三点),,(00yx),,(11yx),(22yx的多项式)(2xL（次数不超过2且xxx210），使得,)(001yxL,)(111yxLyxL221)(。则)(2xL可写成：)(2xLy0)(00xl)(111xly)(222xlyy0))(())((201021xxxxxxxxy1))(())((210120xxxxxxxxy2))(())((120210xxxxxxxx)2.1(式)2.1(被称为抛物线插值多项式。同理，当xxxxn......210为插值节点时，有.),.....,2,1,0()(niyxLiin,则)(xLn可写成：)(xLn)(0xniiily))...()()...(())...()()...((1101100xxxxxxxxxxxxyniiiiiiniiniixxxx)3.1(式)3.1(被称为Lagrange插值多项式.在)1.1(，)2.1(，)3.1(式子中，)(xlik均为插值基函数，且满足：)(xlik01kiki，5即得)(xlk),......,2,1,0(0nixnkiiikixxx.误差估计由定理形式给出：定理]7,6,1[1.1.1设xxxxn,......,,,210为区间],[ba上互不相同的节点，],[baxfCn，且)()1(xfn在),(ba内存在，)(xLn满足yxLiin)(的插值多项式，则对),(],,[babax，使得)()(xfxRn)(xLn)()!1()(1)1(xnnnf.还可写成其截断误差：)()!1()(11xnxnnnMR.其中)(max)1(1xfMnbxan，)()(01niinxxx.Lagrange插值多项式的优点是表达式简单明确、便于推导、格式整齐规范；缺点是没有承上启下性和计算量大，即当需要增加、减少新的节点或节点位置变化时，就得从新计算所以的函数)(xlik。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。在Matlab中，利用Lagrange插值方法进行多项式插值，并将图形显式出来．实现Lagrange插值的步骤如下：Step1定义函数f=1．/(25*x^2+1)将其保存在f．m文件中，具体程序如下：functiony=f1(x)y=1．/(25x．^2+1);Step2定义拉格朗日插值函数,将其保存在lagrange．m文件中，具体实现程序编程见附录A.Step3建立测试程序，保存在text．M文件中，实现画图：x=-1:0.001:1;y=(1+25.*x.^2).^-1;p=polyfit(x,y,n);py=vpa(poly2sym(p),10);plot_x=-1:0.001:1;f1=polyval(p,plot_x);6figureplot(x,y,'r',plot_x,f1)输入n=6时，出现如下面的图2.1所示．图2.1Largange插值图像通过图2.1可以看出当n=6时，被插图像与插值图像没有很好的模拟，于是重新运行text．M，并选择n=15，运行,显示如图2.2所示．图2.2Largange插值图像综合图2.1和图2.2的Lagrange插值图像可以看出，n=15时的被插图像与插值图像实现了很好的模拟．结果分析：由图2.1和图2.2可以看出n的次数越高，越能实现较好的模拟，从而模拟的效果越7好，从图2.2就可以看出两条曲线接近重合，而图一两条直线却分开很多，误差较大，精度也不高．因此在实际的应用中应该尽量在给定的条件下增加n的次数，才能实现与原函数较好的重合，才能使计算的结果更加的准确，从而减小了误差.1.2Newton插值法在介绍Newton插值法之前，先来了解一下什么是差商?给定了函数)(xg在节点xx，10处的函数值)(),(10xxgg。那么有形如：xxxxxxggg010110)()(],[，称],[10xxg为函数)(xg关于节点xx，10处的一阶差商。同理给出在节点xxxxn,......,,,210处的函数值)(),......,(),(10xxxnggg。则xxxxxxxxxxxonnnnggg],...,,[],...,,[],...,,[1102110被称为函数)(xg关于节点xxxxn,......,,,210的n阶差商。所以可得到差商表如下所示]1[：表1差商表xk)(xkg一阶差商二阶差商三阶差商x0)(0xgx1)(1xg],[10xxgx2)(2xg],[21xxg],,[210xxxgx3)(3xg],[32xxg],,[321xxxg],,,[3210xxxxg……………由差商的定义可以得出]75,1[，：8],...,,[)(],...,,[],...,,[........................................................],,[)(],[],[],[)()()(01010101100000xxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnxgxgxgxgxgxgxgxgxg所以有：)(xg)(0xg)(0xx],[10xxg))((10xxxx......],,[210xxxg)()