微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式

第二章曲面论§2曲面的第一基本形式主要内容1.第一基本形式；2.曲面上曲线的弧长；3.曲面上两方向的交角；4.正交曲线网和正交轨线；5.曲面域的面积；6.等距变换和保角变换.2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长1.曲面的第一基本形式GOuv),(vu.OyzxSfP),(vu),(:vurr)()(:)(tvvtuuC有：对于曲线)(Cdtdvrdtdurdtrdvu,dvrdurrdvu或的弧长，则表示曲面上的曲线设)(Cs222)(dvrdurrddsvu22222dvrdudvrrdurvvuu22,,vvuurGrrFrE令.2222GdvFdudvEduds则.式称为曲面的第一基本形.I记作222GdvFdudvEduI即其中22,,vvuurGrrFrE.量称为曲面的第一类基本，对于曲面),(:yxzzS，有)},(,,{yxzyxr，于是},0,1{prx，},1,0{qry，，其中yzqxzp.1,,12222qrGpqrrFprEyyxx.)1(2)1(2222dyqpqdxdydxpI注.(1)2dsI义：第一基本形式的几何意;0,0,0(2)2FEGGE事实上，,0,,022vurGrE2222)(vuvurrrrFEG22vvuvuurrrrrr.0)(2vurr.(3)是正定的I事实上，的矩阵为：222GdvFdudvEduIFGGE,0,02FEGE其顺序主子式.是正定的I,0,,2dsIdvdu.是正定的I另外，例1.}sin,sincos,coscos{的第一基本形式求球面RRRr解：}cos,sinsin,cossin{RRRr}0,coscos,sincos{RRr,22RrE,0rrF,cos222RrG.cos22222dRdRI例2.式求正螺面的第一基本形解：}0,sin,{cosvvru},cos,sin{avuvurv,12urE,0vurrF,222aurGv.)(2222dvauduI},sin,cos{avvuvur2.曲面上曲线的弧长GOuv.OyzxSfP),(:vurr)()(:)(tvvtuuC)(0tA)(1tB之间的弧长为：与上介于点曲线)()()(10tBtAC1010222ttttdtdtdvGdtdvdtduFdtduEdtdtdss注.需要知道曲线的形状曲纹坐标方程有关，不的的第一基本形式和曲线曲线的弧长，只与曲面2.2曲面上两方向的交角定义，和处的两个切方向在点已给曲面vudvdudvuPS:)(:)(),()(称相应的切向量vrurrdvrdurrdvuvu和之间的夹角.)()(之间的夹角和为这两个切方向d)0(计算公式,cosrrdrrdrrdrrdcos22)()()()(vrurdvrdurvrurdvrdurvuvuvuvu222222)(vGvuFuEGdvFdudvEduvGdvudvvduFuEdu222222)(cosvGvuFuEGdvFdudvEduvGdvudvvduFuEdu推论.0)()()1(vGdvudvvduFuEdu方向互相垂直切曲面在一点的两个由下式确定：曲线的交角经过同一点的两条坐标)2(EGFcos事实上，vuvurrrrcos.EGF.0)()()3(FS坐标网是正交网曲纹的曲面例3.)}(,sin)(,cos)({的坐标网是正交的证明旋转曲面tttr解：}0,cos)(,sin)({ttr)},(,sin)(,cos)({tttrt,0trrF.坐标网是正交的2.3正交曲线网和正交轨线定义交网，曲面上的曲线网称为正.交如果不同族的曲线都正.量互相垂直即它们在交点处的切向.曲线的正交轨线族其中一族曲线叫另一族命题1曲面上的曲线网)0(0),(),(2),(222ACBdvvuCdudvvuBduvuA是正交网）（*证：，不妨设0A可化为则(*)02GAFBEC022CdvduBdvduA方向，分别表示两族曲线的切和用vudvdu::,,2ACvudvduABvudvdu则)()((*)d是正交网曲线网.0)(vGdvudvvduFuEdu.0)(GvudvduFvudvduE0)2(GABFACE02GAFBEC推论.0F曲纹坐标网是正交网命题2曲线族)0(0),(),(22BAdvvuBduvuA是正交轨线族的微分方程.0)()(vAGBFuAFBE证：线族的切方向，是已知曲线族的正交轨设vu:由正交条件得：0)(vGdvudvvduFuEdu0BdvAdu且0)()(0dvvGuFduvFuEBdvAdu于是方程组.,的二元齐次线性方程组是关于dvdu不全为零，dvdu,0vGuFvFuEBA展开整理得：.0)()(vAGBFuAFBE易见，不全为零，AGBFAFBE,,0,2FEG否则.矛盾.,满足以上微分方程vu正交，必与已知曲线族的的反之满足以上微分方程dvduvu,,族的微分方程是已知曲线族的正交轨线.0)()(vAGBFuAFBE2.4曲面域的面积),(:)(vurrSDP1P2P3P),(vuP),(1vuuP),(2vvuP),(3vvuuPurvurvuurPPu)(),(),(11vrvurvvurPPv)(),(),(22.uru.vrv)0(时u)0(时vuruvrvvrurdPPPPvu21dudvrrvu的面积曲面域DDdudvrrvu.),(平面上的区域对应的是曲面域其中vuDDDdudvFEG2DdudvFEG2的面积曲面域D定义式决定的几何性质仅由曲面的第一基本形叫做曲面的内蕴性质)(几何量)(内蕴量等都是内蕴量，如：,,s.正交轨线是内蕴性质的内蕴几何内蕴量的几何称为曲面研究曲面的内蕴性质和.（或内在几何）2.5等距变换1.曲面之间的变换定义GvuvurrS),(),,(:)(给定曲面),(),(vuvvvuuu及函数组)(；至少有一阶连续偏微商函数组)()(i;0),(),()(vuvuJocbiii行列式满足下列条件：若函数组)(.)()(的一宗一一对应到给出了函数组GGiii.的一个变换到为曲面则称函数组)()()(SSGvuvurrS),(),,(:)(注GOuv),(vu.Oyzxf同胚),(vuPG),(vu.g同胚f同胚),(vuPh同胚.)()1(由谁到谁的变换间的变换不需指出有逆变换，因此曲面之变换.,)()()()2(vuPPSS有相同的参数和的对应点与下，在变换)(C)(C)()(tvvtuu)()(tvvtuu.)()()3(有相同的曲纹坐标方程和对应曲线CC),(:)(vurrS),(:)(vurrS)](),([tvturr)](),([tvturr.:)4(dvdu示对应切方向有相同的表),(vu),,(:)(vurrS),,(:)(vurrS：的第一基本形式分别为与)()()5(SS222GdvFdudvEduI222dvGdudvFduEI其中22,,vvuurGrrFrE22,,vvuurGrrFrE.,的函数都是vu2.等距变换定义之间的一个变换，与曲面)()(SS一条曲线的长度不变，如果它保持曲面上任意换则称这个变换为等距变).(或保长变换底面圆周长圆柱高底面圆周长等距变换.价的曲面这两个曲面称为等距等定理.,形式它们有相同的第一基本经过适当选择参数等距变换两个曲面之间的变换是证：”“)(C)(C),(:)(vurrS),(:)(vurrS)](),([tvturr)](),([tvturr)(0tA)(.1tB)(0tA)(.1tB10222ttABdtdtdvGdtdvdtduFdtduEs10222ttBAdtdtdvGdtdvdtduFdtduEs,II,,,GGFFEE,BAABss.等距变换故两曲面之间的变换是”“)(C)(C),(:)(vurrS),(:)(vurrS)](),([tvturr)](),([tvturr)(0tA)(1tB)(0tA)(1tB10222ttABdtdtdvGdtdvdtduFdtduEsBAttsdtdtdvGdtdvdtduFdtduE10222.II即),(vuPP),(vu等距)(d).,(bat222GdvFdudvEdu222dvGdudvFduE.:恒成立对任意的dvdu,,,GGFFEE注,在等距变换下不变内蕴量和内蕴性质由此定理可知，曲面的.也称为等距不变量例：},sin,cos{:)(avvuvurS求正螺面解：vuG,:},sincosh,coscosh{:)(tataatarS与悬链面20,:tG.之间的一个等距变换的第一基本形式为：正螺面)(S.)(2222dvauduI),(S对于悬链面}1,sinsinh,cos{sinhatatrt}0,coscosh,sincosh{ataatar,cosh1sinh222atatrEt,0rrFt,cosh222atarG的第一基本形式为：悬链面)(S22222coshcoshdatadtatI.)(2222dvauduI22222)sinh()cosh(dataaatadvataucosh令)(2020vtu，则有2222)(dvauduI.II即.)()((*)之间的一个等距变换与式给出了故SS2.6保角变换定义之间的一个变换，与曲面)()(SS的交角相等，如果使曲面上对应曲线则称这个变换).(或保形变换或共形变换为保角变换定理.例它们第一基本形式成比保角变换两个曲面之间的变换是证：”“，若第一基本形式成比例.,0),(2IIvu则,,,222GGFFEE即是任意两对对应曲线，与及与设)()()()(2211CCCC,与对应交角分别为)(1C)(1C),(:)(vurrS),(:)(vurrS)(2C)(2C222222)(cosvGvuFuEdvGdudvFduEvdvGud