高等代数最重要的基本概念汇总

1第一章基本概念1.5数环和数域定义1设S是复数集C的一个非空子集,如果对于S中任意两个数a、b来说，a+b,a-b,ab都在S内，那么称S是一个数环。定义2设F是一个数环。如果（i）F是一个不等于零的数；（ii）如果a、bF,，并且b0，aFb，那么就称F是一个数域。定理任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。第二章多项式2.1一元多项式的定义和运算定义1数环R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式12012nnaaxaxax，是非负整数而012,,,naaaa都是R中的数。项式1中，0a叫作零次项或常数项，iiax叫作一次项，一般，ia叫作i次项的系数。定义2若是数环R上两个一元多项式fx和gx有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说fx和gx就说是相等fxgx定义3nnax叫作多项式2012nnaaxaxax，0na的最高次项，非负整数n叫作多项式2012nnaaxaxax，0na的次数。定理2.1.1设fx和gx是数环R上两个多项式，并且0fx，0gx，那么i当0fxgx时，000max,;fxgxfxgxii000fxgxfxgx。多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1）加法交换律：fxgxgxfx；22）加法结合律：fxgxhxfxgxhx；3）乘法交换律：fxgxgxfx；4）乘法结合律：fxgxhxfxgxhx；5）乘法对加法的分配律：fxgxhxfxgxfxhx。推论2.1.10fxgx当且仅当fx和gx中至少有一个是零多项式推论2.1.2若fxgxfxhx，且0fx，那么gxhx2.2多项式的整除性设F是一个数域。fx是F上一元多项式环定义令fx和gx是数域F上多项式环fx的两个多项式。如果存在fx的多项式hx，使gxfxhx，我们说，fx整除（能除尽）gx。多项式整除的一些基本性质：1）如果fxgx，gxhx，那么fxhx2）如果hxfx，hxgx，那么hxfxgx3）如果hxfx，那么对于fx中的任意多项式gx来说，hxfxgx4）果,1,2,3,,,ihxfxit那么对于fx中任意1,2,3,,,igxit1212iihxfxgxfxgxfxgx5）次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任意多项式。6）每一个多项式fx都能被cfx整除，这里c是F中任意一个不等于零的数。7）如果fxgx，gxfx，那么fxcgx，这里c是F中的一个不等于零的数设fx，gx是两个任意的多项式，并且0gx。那么fx可以写成以下形式fxgxqxrx，这里0rx，或者rx的次数小于gx的次数。3定理2.2.1设fx和gx是fx的任意两个多项式，并且0gx。那么在fx中可以找到多项式qx和rx，使（3）fxgxqxrx这里或者0rx，或者rx的次数小于gx的次数，满足以上条件的多项式qxrx和只有一对。设数域F含有数域F而fx和gx是fx的两个多项式，如果在fx里gx不能整除fx，那么在Fx里gx也不能整除fx。1）定义1假定hx是fx和gx的任一公因式，那么由32112111,,kkkkkkkkkkrxrxqxrxrxrxqxrxrxrxqx中的第一个等式，hx也一定能整除1rx。同理，由第二个等式，hx也一定能整除2rx。如此逐步推下去，最后得出hx能整除krx，这样，krx的确是fx和gx的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。定义2设以gxxa除1110nnnnfxaxaxaxa时，所得的商121210nnnnqxbxbxbxb及余式0rxc，比较fxgxqxrx两端同次幂的系数得1nnba，211nnnbaab，…011baab，000caab，这种计算可以排成以下格式1201120112300))))nnnnnnnnnaaaaaaababababbabbbc用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。2.3多项式的最大公因式设F是一个数域。fx是F上一元多项式环4定义1令设fx和gx是fx的任意两个多项式，若是fx的一个多项式hx同时整除fx和gx，那么hx叫作fx与gx的一个公因式。定义2设dx是多项式fx与gx的一个公因式。若是dx能被fx与gx的每一个公因式整除，那么dx叫作fx与gx的一个最大公因式。定理2.3.1fx的任意两个多项式fx与gx一定有最大公因式。除一个零次因式外，fx与gx的最大公因式是唯一确定的，这就说，若dx是fx与gx的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数c与dx的乘积cdx也是fx与gx的一个最大公因式；而且当fx与gx不完全为零时，只有这样的乘积才是fx与gx的最大公因式。从数域F过度渡到数域F时，fx与gx的最大公因式本质上没有改变。定理2.3.2若dx是fx的多项式fx与gx的最大公因式，那么在fx里可以求得多项式uxx和v，使以下等式成立：（2）fxuxgxxdxv=。注意：定理2.3.2的逆命题不成立。例如，令,fxxgxx=+1，那么以下等式成立：22221xxxxxx+1-1但2221xx显然不是fx与gx的最大公因。定义3如果fx的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这两个多项式互素。定理2.3.3fx的两个多项式fx与gx互素的充要条件是：在fx中可以求得多项式uxx和v，使（4）1fxuxgxxv=从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：若多项式fx与gx都与多项式hx互素，那么乘积fxgx也与hx互素。若多项式hx整除多项式fx与gx的乘积，而hx与fx互素，那么hx一5定整除gx。2）若多项式gx与hx都整除多项式fx，而gx与hx互素，那么乘积gxhx也整除fx最大公因式的定义可以推广到2nn个多项式的情形：若是多项式hx整除多多项式12,,,nfxfxfx中的每一个，那么hx叫作这n个多项式的一个公因式。若是12,,,nfxfxfx的公因式dx能被这n个多项式的每一个公因式整除，那么dx叫作12,,,nfxfxfx的一个最大公因式。若0dx是多项式121,,,nfxfxfx的一个最大公因式，那么0dx是多项式nfx的最大公因式也是多项式121,,,nfxfxfx的最大公因式。若多项式12,,,nfxfxfx除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多项式互素。2.4多项式的分解定义1fx的任何一个多项式fx，那么F的任何不为零的元素c都是fx的因式，另一方面，c与fx的乘积cfx也总是fx的因式。我们把fx这样的因式叫作它的平凡因式，定义2令fx是fx的一个次数大于零的多项式。若是fx在fx只有平凡因式，fx说是在数域F上（或在fx中）不可约。若fx除平凡因式外，在fx中还有其他因式，fx就说是在F上（或在fx中）可约。如果fx的一个n（n0）次多项式能够分解成fx中两个次数小于n的多项式gxhx与的乘积：（1）fxgxhx，那么fx在F上可约。若是fx在fx中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么fx在F6上不可约。不可约多项式的一些重要性质：1）如果多项式px不可约，那么F中任一不为零的元素c与px的乘积cpx也不可约。2）设px是一个不可约多项式而fx是一个任意多项式，那么或者px与fx互素，或者px整除fx。3）如果多项式fx与gx的乘积能被不可约多项式px整除，那么至少有一个因式被整除。4）如果多项式12,,,2sfxfxfxs的乘积能被不可约多项式px整除，那么至少有一个因式被px整除。定理2.4.1fx的每一个n(n0)次多项式fx都可以分解成fx的不可约多项式的乘积。定理2.4.2令fx是fx的一个次数大于零的多项式，并且1212rsfxpxpxpxqxqxqx此处ic与1,2,,,1,2,,jqxirjs都是fx的不可约多项式，那么rs，并且适当调换jqx的次序后可使,1,2,,,jiiqxcxpxir此处icx是F上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式fx分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的。形如1212kkkttfxapxpxpx的多项式叫作多项fx的典型分解式，每一个典型分解式都是唯一确定的。2.5重因式定义fx的多项式0122nnfxaaxaxax的导数或一阶导数指的是fx的多项式1122nnfxaaxnax一阶导数fx的导数叫作fx的二阶导数，记作fx，fx的导数叫作fx的7三阶导数，记作fx，等等。fx的k阶导数也记作kfx。关于和与积的导数公式仍然成立：（1）fxgxfxgx（2）fxgxfxgxgxfx（3）1kkfxkfxfx定理2.5.1设px是多项式fx的一个1kk重因式。那么px是fx的导数的一个k-1重因式。定理2.5.2多项式fx没有重因式的充要条件是fx与它的导数fx互素。2.6多项式函数多项式的根设给定了1R的一个多项式2012nnfxaaxaxax和一个数cR,那么在fx的表示式里，把x用c来代替，就得到R的一个数2012nnaacacac这个数叫作当xc时，fx的值，并且用fc来表示。对于R上的每一个数c，就有R中唯一确定的数fc与它对应。就得到R与R的一个影射。这个影射是由多项式fx所确定的，叫作R上的一个多项式函数。定理2.6.1设,fxRxcR，用xc除fx所得的余式等于当xc时fx的值fc定义令fx是Rx的一个多项式而c是R中的一个数，若是当xc时fx的值0fc，那么c叫作fx在数环R中的一个根。定理2.6.2数c是fx的根的