公式法因式分解法解一元二次方程讲学案

第1页共9页一元二次方程（二）第一部分知识梳理1.公式法：一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为abxx221；当042acb时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定cba,,的值；③代入acb42中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042acb代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）2.因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab，则00ba或；②因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。3.根的判别式1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=acb42（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02cbxax（0a）①当时00a方程有实数根；（当时00a方程有两个不相等的实数根；当时00a方程有两个相等的实数根；）②当时00a方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。第2页共9页第2部分精讲点拨知识点1：公式法解一元二次方程【例1】解一元二次方程)0(02acbxax【例1】用公式法解下面一元二次方程1.0642xx2、21212xx=03、01722xx4、04)1(3122xxxx变式训练：1）09412x（2）04542yy3）031082xx（4）02172xx知识点2：根的判别式【例1】对任意实数m，求证：关于x的方程042)1(222mmxxm无实数根.【例2】k为何值时，方程0)3()32()1(2kxkxk有实数根.第3页共9页【例3】设m为整数，且404m时，方程08144)32(222mmxmx有两个相异整数根，求m的值及方程的根。变式训练：1．不解方程判别方程根的情况：（1）4xxx732（2）xx4)2(32（3）xx545422．k为何值时，关于x的二次方程0962xkx（1）有两个不等的实数根（01kk且）（2）有两个相等的实数根（1k）（3）无实数根（1k）3.若方程054)1(222aaxax有实数根，求：正整数a.（3,2,1aaa）知识点3：因式分解法【例1】（1）09412x（2）04542yy第4页共9页（3）031082xx（4）02172xx变式训练：（1）6223362xxx（2）1)5(2)5(2xx（3）08)3(2)3(222xxx知识点4：一元二次方程应用【例1】已知关于x的方程01)1(2mxxn①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y的方程03222222nmmyym②必有两个相等的实数根。(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式nnm122的值。【例2】某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年-2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．【例3】“4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑12m次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．第5页共9页变式训练：1.小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．2．如图，东西和南北向两条街道交于O点，甲沿东西道由西向东走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通过O点又继续前进50米时，甲刚好通过O点，求这两人在相距85米时，每个人的位置。（甲离O84米，乙离O13米）3.菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．东北BABAO第6页共9页第3部分过关检测一、选择题（每小题3分，共30分）1.若方程013)2(||mxxmm是关于x的一元二次方程，则（）A．2mB．m=2C．m=—2D．2m2.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1＝3、x2＝1，那么这个一元二次方程是（）A.x2+3x+4=0B.x2+4x-3=0C.x2-4x+3=0D.x2+3x-4=03.对于任意实数x,多项式x2－5x+8的值是一个（）A．非负数B．正数C．负数D．无法确定4.如果关于x的方程ax2+x–1=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞–14B．a≥–14C．a≥–14且a≠0D．a＞–14且a≠05.方程x2+ax+1=0和x2－x－a=0有一个公共根，则a的值是（）A．0B．1C．2D．36.已知1x、2x是方程2560xx的两个根，则代数式2212xx的值（）A．37B．26C．13D．107.为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）Ａ．225003600xＢ．22500(1)3600xＣ．22500(1%)3600xＤ．22500(1)2500(1)3600xx8.关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是()A、有两个不相等的同号实数根B、有两个不相等的异号实数根C、有两个相等的实数根D、没有实数根9.若t是一元二次方程)0(02acbxax的根，则判别式acb42和完全平方式2)2(batM的关系是（）A.△=MB.△MC.△MD.大小关系不能确定10.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程060162xx的一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24B．24或58C．48D．58二、填空题（每小题3分，共30分）11.一元二次方程（x+1）(3x－2)=10的一般形式是。第7页共9页12.把一元二次方程3x2－2x－3=0化成3（x+m）2=n的形式是；若多项式x2－ax+2a－3是一个完全平方式，则a=。13.已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。14.已知x=1是一元二次方程2x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是15.当x=时，1532xxx与既是最简二次根式，被开方数又相同。16.已知实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+x21的值为________．17.写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：______18.设x1，x2是方程x(x-1)+3(x-1)=0的两根，则│x1-x2│=。19.当m时，关于x的方程5)3(72xxmm是一元二次方程；当m时，此方程是一元一次方程。20.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．三、解答题21.解下列方程（每小题4分，共8分）1）x2+8x+16=0（2）4x2+19x-5=0（3）（x-5）2=2（x-5）（4）（x2-2）2-（x2-2）-6=0．22.（6分）已知：关于x的方程2210xkx（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值第8页共9页北东DAB23.（8分）已知12xx，是方程220xxa的两个实数根，且12232xx．（1）求12xx，及a的值；（2）求32111232xxxx的值．24.如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．25.（12分）中新网2010年8月23日电.中央气象台消息，今日8时，南海热带低压加强为今年第5号热带风暴“蒲公英”，逐渐向海南岛南部近海靠近。已知，如图，一艘轮船以20海浬/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海浬/时的速度由南向北移动，距台风中心2010海浬的圆形区域内（包括边界）都属于台风区，当轮船到达A处时，测得台风中心移动到位于点A正南方的B处，且AB＝100海浬.（1）若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。第9页共9页（2）现轮船自A处立即提高速度，向位于东偏北30°方向，相距60海浬的D港驶去.为使轮船在台风到来之前到达D港，则船速至少应提高多少（提高的船速取整数，133.6）