六奥第十四讲有趣的数字串

第十四讲有趣的数字串教学课题：有趣的数字串教学课时：两课时教学时间：教学目标：1.学会归纳总结，挖掘题目传递的信息，发现规律，找准突破口教学重难点：从宏观到微观，不同角度分析事物。数列或数阵中一些特殊位置（如拐角处、末尾处）的数往往是关键数，他们之间的规律往往是我们解题的突破口教学过程：：一、故事导入：据说，汉代的司马相如和卓文君曾经有过婚姻破裂的危险。后来司马相如去长安做官，卓文君在成都痴心等待，但杳无音信。到了第五个年头，好不容易盼来的了封信，卓文君拆开一看，却是一串数字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万。聪明的卓文君一眼就看出了司马相如的意思，信中的数字没有“亿”字，岂不是要告诉她司马相如已经对她无“意”了吗？卓文君就立即用一首诗给司马相如回信。她写到：“一别之后，二地相悬，只说是三四月，谁知是五六年。七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿。百般想，千般念，万般无奈把郎怨。万语千言说不完，百无聊赖十依栏。重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆。七月半烧香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒。五月石榴如火偏遇阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱。急匆匆，三月桃花随水转。飘零零，二月风筝线儿断。噫！郎啊郎，巴不得下世你为女来我为男。”面对才华横溢的数字诗，司马相如十分羞愧，觉得对不起卓文君。最终回心转意，亲自回到成都迎接卓文君到长安。二、新课学习师：同学们看，司马相如只能把一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这些数字写成一排，卓文君却可以将这些数字写成一篇数字诗！我们今天学的很是跟数字有关。【知识概述】这类题目需要我们仔细观察、深入思考，从题目表面归纳出一般性规律的问题。数列或数阵中一些特殊位置（如拐角处、末尾处）的数往往是关键数，他们之间的规律往往是我们解题的突破口。【精选例题】例1、在下面的一列数中,只有一个九位数,它是多少？1234,5678,9101112,13141516,……分析：这串数字是①由1234……依次排列，②每4个数组成成一个数。九位数可分解为什么？9=2+2+2+3，3个两位数加上一个三位数，979899100符合，96刚好也可被4整除。解：它是979899100例2、把自然数按下表的规律排列,其中12在8的正下方,在88正下方的数是什么数？123456789101112131415……分析与解：根据观察：每行的个数与行数相等，下行的数为相对的上一行的数加其所在行n。每行的最后一个数为2)1(nn，2)112(12=78，为第12行的最后一位，则88位于第13行，在88的正下方的数为88+13=101.例3、有一串数,第100行的第四个数是多少？1,23,4,5,67,8,9,10,11,1213,14,15,16,17,18,19,20分析与解：由观察可知，每行的最后一个数字为n（n+1），其中n为行数。第99行的最后一个数为99×100=9900，则第100行的第四个数为9904.例4、右图是一个向右和向下方可以无限延伸的棋盘,横排为行,竖排为列,将自然数按已填好的4×4个方格中的数字显现的规律填入方格中。12473581269131810141925(1)求位于第3行、第8列的方格内的数；(2)写出位于从左上角向右下角的对角线上的方格内的数组成的数列的第10个数；(3)数321在哪一个方格内?分析与解：（1）根据第3行已知数据的特征：6+3=9,9+4=13,13+5=18，可知第3行、第8列的方格内的数为：18+6+7+8+9=48.（2）根据对角线上已知数据的特征：1+4×1=5,5+4×2=13,13+4×3=25，可知第10个数为：25+4×4+4×5+4×6+4×7+4×8+4×9=25+156=181.（3）对于第25斜行：22625=325325位于第一行第25列，则321位于第5行第21列例5、如图所示，把自然数中的偶数2，4，6，8，…，依次排成5列，如果各列从左到右依次称为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，那么，数2014出现在第几列?分析与解：很明显8个数是一个周期，2014是第1007个偶数，所以1007÷8余7，出现在第7个的位置，也就是第3列。例6、在以下数列:11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,15,24,…中,197居于第几项？分析与解：根据观察知分子分母的变化都是有规律的（一轮一轮的变化），197处在第19+7-1=25组，从11到第25组共有65022625个分数，197为倒数第25-19=6个，则197是第650-6+1=645项。例7、已知自然数组成的数列A:1,2,3,…,9,10,11,12,…,把这个数列的10和大于10的数,全部用逗号隔成一位数,做成一个新的数列B:1,2,3,…,9,1,0,1,1,1,2,…。问:(1)A中100这个数的个位上的“0”在B中是第几个数?(2)B中第100个数是几?这个数在A中的哪个数内?是它的哪一位数?(3)到B的第100个数为止,“3”这个数字出现了几次?(4)B中前100个数的和是多少?分析：数列的又来很容易分析，第1问：就按位数的不同来数然后加起来，第2、3问转化都A数列就容易得出答案了.解：（1）9+（99-10+1)×2+3=192（2）100-9=91，91÷2=45……1,9+45=54，则这个数为5，是55的十位数。（3）9+5+2=16（4）45×5+（1+2+3+4）×10+5×6+1+2+3+4=365例8、给定以下数列:11,21,22,31,32,33,41,42,43,44,…,(1)2923是第几项？(2)第290项是多少？(3)求前30项之和。分析与解：（1）根据观察知当分母为n时，nn是第2)1(nn项；2828是第22928=406，则2923是第406+23=429项。（2）根据22423=276,第276项是2323，则第290项是24276290=2414。（3）第30项是82，前30项的和为S。2S=2+2)8281(778667556445334223=3586则S=8717例9、在1，2两数之间，第一次写上3；笫二次在1，3之间和3，2之间分别写上4，5，得到1，4，3，5，2以后每一次都在已写上的两个相邻数之间，再写上这两个相邻数之和。这样的过程共重复了8次，那么所有数的和是多少?分析与解：第一次写上的数是3，第二次写上的数是4和5；4＋5＝3×3＝9即第二次写上的数的和是第一次写的数的3倍；第三次写上的数是5、7、8、7；5＋7＋8＋7＝9×3＝27即第三次写上的数的和是第二次写的数的3倍；……所以最后所有数字之和为：1＋2＋3＋9＋27＋81＋243＋729＋2187＋6561＝9843【课后习题】1.下面是一列有规律排列的数组:(1,21,31);(31,41,51),(51,61,71)……。第100个数组内三个分数分母的和是多少？分析与解：根据观察第n个数组的第一项的分母为（n-1）×2+1，则第100个数组的第一项的分母为（100-1）×2+1=199，则三个分数分母的和为199+200+201=600.2.把所有的奇数依次一项,二项,三项,四项循环分为:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第100个括号内的各数之和为多少?分析与解：根据观察，每4个括号一共有10个奇数，则到第100个括号一共有25×10=250（个）第100个奇数为250×2+1=501，则第100个括号内的奇数之和为501+499+497+495=19923.31，21，95，127，53，1811,……求第11个数。分析与解：根据观察，613121，3612195，66195127，106112753，1561531811……则第11个数为556145613661286121611811=1174.如图，自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“2”处拐第一个弯，在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数？分析与解：根据观察，拐弯处的数字依次为1,2,3,5,7,10,13,17,21,26……则第二十个拐弯处是26+5+（6+7+8+9+10）×2=1115.观察下列的数表（横排为行，竖排为列）；根据前五行数所表达的规律，说明：20122011这个数，位于由上而下的第几行，自左向右的第几列。分析与解：根据规律，20122011前后的部分数为……20132010,20122011,20112012,20102013……2011+2012-1=4022（行）列为：2012.8.在一串分数中，,31,32,33,32,31,21,22,21,11请问（2）第2014个数是多少？（3）分数1007是第多少个数？分析与解：（1）分母为45时，共有2025个；分母为44时，共有1936个1+3+5+……+87=44×44，所以接下来是以45为分母，第2014-1936=78个数，78-45=33，45-33=12，所以第2014个数是4512。（2）第1002-6=9964或992+7=9808个。