关于方程实数根的研究

关于方程实数根的研究摘要：代数方程代数方程通常指整式方程，即由多项式组成的方程。有时也泛指由未知数的代数式所组成的方程，包括整式方程、分式方程和无理方程。在数学学习中，常常要计算一些代数方程的解，然而在解代数方程时，我们首先就要判断这类方程的解的存在性。本文从复变函数论、连续函数零点、多项式根的判别式、不动点定理、Kronecker定理方面判别代数方程根的存在性。总结前人的研究成果，并略作一些整理，使分散的知识点汇聚在一起，以方便阅读在数学学习中，常常要一些方程问题。方程主要包括线性方程和非线性方程。线性方程是指因变量与自变量成线性关系。非线性方程就是指因变量和自变量的之间的关系不是线性关系，这类的方程很多，例如平方关系、指数关系、对数关系、三角函数关系等等。对于非线性方程可以分为两类，一类是多项式方程，这类方程的求解已经有了比较成熟的理论和方法，另一类是非多项式方程，求解这类方程往往很难得到精确解，是现在数学领域中的一个重点研究方向。本文针对非线性方程求解其实数根进行研究，在总结前人研究成果的基础上通过连续函数的性质定理、不动点定理、函数的性态等理论和方法研究其实数根的存在性和唯一性。关键字：方程实数根存在性唯一性第一部分绪论1、问题背景对于一元二次方程求解问题。2、问题提出中学数学中曾出现过一元二次方程的求根问题。我们知道，由判别式acb42可以判断该方程是否存在实数根，即当042acb时，该方程有两个不相等的实数根，当042acb时方程有两个相等的实根，当042acb时方程没有实根。那么一元三次方程方的实数根是否存在呢？如果存在是否也同一元二次方程有判别式和求根公式呢？如果在向前一步，一元N次方程也不是也具有这样的答案？推广到更一般的方程0)(xf，例如：0esinxxx它的实数根又是否存在呢？3、研究现状及其意义中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。直到19世纪初，代数学研究仍未超出这个范围。不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上。我们知道，二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。在中世纪，阿拉伯数学家又将二次方程的理论统化。而三、四次方程的求解曾在文艺复兴时期的意大利引起数学家之间的激烈挑战并获得决。三、四次代数方程的解被发现之后，约在550年开始，代数学上最突出的有两个问题：1.任何一个几次代数方程是否一定有根？有多少个根？2.五次和五次以上的代数方程是否能解？怎样去解？前一个问题吸引了许多数学家，欧拉也研究过。经过几代数学家的努力，用了两百多年时间，约在1748年，这个问题被年仅29岁的法国青年数学家达朗贝尔证明了。他的结论是一个n次代数方程至少有一个根。后人称为代数基本定理。几十年后,德国数学家高斯发现达贝尔的证明缺乏严密性。在1799年高斯给出了这个定理的证明。因此，有时也把这个定理叫达朗贝尔—高斯定理。被誉称为数学皇子的高斯，辈子都没有放弃对代数基本定理的研究，他一生中给出了这个定理的四种不同证明方法，而只有一种是纯代数的。人们很难想象，在技术上为了解一般五次方程，不知耗去了多少枉然的精力，可以说这个问题是人类智慧的一个严重挑战，经过三百多年时间，几代数学家的接力奋斗，直到19世纪初期才被解决。第二部分方程实数根的存在性和唯一性一、证明方程有实数根的存在性的主要方法1、利用闭区间上连续函数的介值定理和零点存在定理。零点存在定理：若f(x)在[a,b]上连续，f(a)和f(b)异号，即f(a)f(b)0，则在[a,b]内至少有一点ξ使得f(ξ)=0。介值定理：闭区间[a,b]上的连续函数f(x)可以取其最小值和最大值之间的一切值。即设f(x)在[a,b]上的最小值为m，最大值为M，那么，对任何c,mcM,在[a,b]内至少有一个ξ，使得f(ξ)=c。对于根据题目所给方程或待证的等式Cf)(，首先构造一个在相应闭区间上连续的辅助函数F(x),然后利用闭区间上连续函数的零点存在定理证明所给方程的实根是存在的，这里，要充分发掘所给方程或等式的特性，去构造一个新的函数，使它适合应用零点定理的前提条件。例如把待证等式中定值改成变量x，使得待证Cf)ξ(转化为方程0)(Cxf，由此构造连续的辅助函数CxfxF)()(。根据待证的等式Cf)(或者方程Cxf)(，先证明函数)(xf在相应的闭区间上是连续的，故由闭区间上连续函数的性质知，函数)(xf必定在该闭区间上达到其最大值M和最小值m，在证明常数C介于最小值m与最大值M之间，然后利用闭区间上连续函数的介值定理便可证得的存在例1试证方程bxaxsin少存在一正根ba,0ξ，其中常数a,b满足0a1，b0分析：证法一：利用零点存在定理令函数bxxxfsin)(，显然，)(xf在区间ba,0内连续，且0)0(bf，baabafsin1)(。当0)(baf时，如22kba，k为正整数，则ba就是原方程的一个正根。当0)(baf时，有0sin1ba，故0)(baf。则由闭区间上连续函数的零点定理即可知道在开区间ba,0内至少存在一正根ξ。综上所知本题的结论成立。证法二：利用介值定理令函数xxxFsin)(，则考虑方程0,)(bbxF。显然)(xF是闭区间上ba,0的连续函数，而且严格单调增加，故)(xF在闭区间ba,0上的最小值为0)0(F,最大值为baabbaFsin1)(。当0)(baF时，,)(bbaF则ba是原方程的一个正根。在当0sin1ba时，)0(0)(FbbaF，即常数b介于)(xF在ba,0上的最小值和最大值之间，有闭区间上连续函数的介值定理知，在ba,0内至少存在一点ξ使得bFsin)(成立。综上知命题结论成立。2、利用微分中值定理，首先3、结合方程所确定的函数的性态讨论利用导数对函数做性态分析，结合闭区间上连续函数的零点存在定理和介值定理异界费马定理等研究方程的实根，可以对方程的实根的存在性及其个数的讨论比较直观。例如函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)(xf在ba,上的唯一的最小值m在点bac,处取到，即)(cfm，而,0)(limxfax,0)(limxfbx又)(xf在ca,内严格单调减少，在bc,内严格单调增加，则当m=0时，函数)(xf仅有一个零点，当m0时函数)(xf有且仅有两个零点，当m0时)(xf没有零点。又如，若需确定方程0)(xf的实根个数，可先求出函数)(xf的驻点与其导数不存在的点，以确定函数)(xf严格单调增加或减少的区间。例2试确定实常数k的取值范围，使方程kxex有实根，并确定实根的个数。分析：证明：4、结合积分的性质讨论5、利用不动点定理二、证明方程实数根在某区间内唯一性采用的1、利用方程所确定的函数在该区间的单调性结合介值定理和零点存在定理证明2、采用反反证法3、利用R0ll定理推论的逆命题进行证明。第三部分应用实例中学数学中曾出现过一元二次方程的求根问题。我们知道，由判别式acb42可以判断该方程是否存在实数根，即当042acb时，该方程有两个不相等的实数根，当042acb时方程有两个相等的实根，当042acb时方程没有实根。那么一元三次方程方的实数根是否存在呢？如果存在是否也同一元二次方程有判别式和求根公式呢？如果在向前一步，一元N次方程也不是也具有这样的答案？推广到更一般的方程0)(xf，例如：oexxxsin它的实数根又是否存在呢？