几何图形中的函数问题模块第一讲三角形与函数综合问题

1全日制课程初三教案模块几何图形中的函数问题模块第一讲三角形与函数综合问题教学内容概要：本讲主要涉及初中几何中的三角形和函数内容，综合性比较强，主要从三角形中的单动点问题、双动点问题考查如何列函数关系式，并且还涉及平面直角坐标系中三角形与函数的综合性问题。教学目标：1、梳理三角形与函数的相关基础知识点。2、让学生熟悉三角形背景下常考的几何题型，并掌握常用的解题思路与方法。3、培养学生对函数动态几何问题的分析能力、对方程和函数的计算能力。重难点：1、分析问题的灵活性及全面性。2、数形结合、分类讨论。第一部分知识要点1、三角形的有关概念（1）三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。（2）三角形的三条重要线段：三边上的中线、三个内角角平分线及三边上的高。（3）三角形三个内角和等于180度。（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。2、全等三角形（1）性质：全等三角形的对应边相等，对应角也相等。（2）判定：AAS、SAS、ASA、SSS、HL。3、等腰三角形（1）等腰三角形的性质：两个底角相等；两腰相等；顶角的平分线垂直平分底边。（2）等腰三角形的判定：两腰相等；等角对等边；线段垂直平分线的性质。（3）等边三角形的性质：三个角都是60度；三条边都相等；高、角平分线、中线等都相等；是轴对称图形，有三条对称轴。（4）等边三角形的判定：三条边都相等；三个角都相同；有两个角是60度；有一个角是60度的等腰三角形。4、直角三角形（1）直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互余；2②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）勾股定理①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；（3）其它①垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等；②垂直平分线性质逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；③角平分线性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；④角平分线性质逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；5、相似三角形（1）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得三角形与原三角形相似。（2）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，此定理可简述为：两角对应相等，两个三角形相似。（3）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，此定理可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。（4）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，此定理可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似。（5）两个直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似，此定理可简述为：斜边和一条直角边对应成比例，两个直角三角形相似。（6）相似三角形的性质定理：相似三角形的对应边成比例、对应角相等；相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似三角形的相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。6、锐角三角比（1）锐角三角比的概念：直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切，一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦，例如，锐角A的正切、余切、正弦和余弦分别记作AAAAcos,sin,cot,tan。（2）00060,45,30的锐角三角比的比值如表所示：sincostancot03021233330452222110602321333第二部分例题经典例1：如图1，在△ABC中，310BC，∠ABC=30°，设AB=x，AC=y，列出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。3CBADABCCBAE图1图2图3解：解法一：如图2，过点A作AD的垂线交边BC于点D，在Rt△ABD中，∠ABC=30°，AB=x，∴2xAD，23xBD，∴23310xDC，在Rt△ACD中，AC=y，2xAD，23310xDC，∴222223310yxx，解得300302xxy，其中0x。解法二：如图3，过点C作AB的垂线交BA延长线于点E，在Rt△EBC中，∠ABC=30°，310BC，∴35EC，15BE，∴xAE15，在Rt△ACE中，AC=y，35EC，xAE15，∴2223515yx，解得300302xxy，其中0x。【点评】本题重点考查学生对三角形边与角之间关系的分析、理解与应用。学生要学会利用三角形的边与角关系，借助方程思想解题，并且会利用边与角的位置关系，添加适当辅助线来解题。例2：如图4，在Rt△ABC中，AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，点P从A点出发，沿着折线A—C—B以每秒2个单位的速度运动，同时点Q从点B出发，沿线段BA以每秒1.5个单位的速度向点A运动，当一个点运动到终点位置时，另一个点也随之停止运动。设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为S，列出S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。QPBACDCABPQQPBACE图4图5图6解：如图5，当点P在边AC上运动时，30x，过点P作PD⊥AB，在Rt△APD中，∠A=60°，tAP2，∴tPD3，又∵tBQ5.1，∴24335.1321tttS，如图6，当点P在边BC上运动时，83x（此时点Q先停止运动），过点Q作QE⊥BC，在Rt△BQE中，∠B=30°，tBQ23，∴tQE43，又∵tPB2366，∴4394943236643212ttttS。【点评】本题主要考查三角形中的双动点问题，研究双动点问题，首先要分析每个动点的运动范围，其次找到相对应的自变量范围，再利用三角形的知识解题，注意数形结合、分类讨论和方程的思想。例3：如图7，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AE=ED=DB，BE=BC，求证：DE⊥AC。4EDCBA图7解：设∠ABE=x，∵ED=DB=x，∴∠DEB=∠ABE=x，∠ADE=2x，∵ED=AE，∴∠A=∠ADE=2x，∠BEC=∠ABE+∠A=3x，∵BE=BC，AB=AC，∴∠ABC=∠C=∠BEC=3x，∵△ABC中，∠C+∠ABC+∠A=180°，∴8x=180°，∴∠A=∠ADE=2x=45°，∴∠AED=90°，∴DE⊥AC。【点评】在用方程观点解几何问题时，其中已蕴含了函数思想，只是省略了“列函数表达式”这一步，直接列出了方程，其核心思想是引进了一个几何量为自变量，以该自变量来表示其他的未知几何量，寻找等量关系，列出方程。例4：如图8，在△ABC中，AB=AC=5，43tanC，点D是BC边上一个动点（不与B、C重合），DE//AC交边AB于点E，DF⊥AC，垂足为F（点F在边AC上运动），设BD=x，ySDEF。（1）列出y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）是否存在这样的点D，使得以点D、E、F为顶点的三角形与△DFC相似？如果存在，请求出BD的长；如果不存在，请简要说明理由；FEDCBAEABCDEFABCDEF图8图9图10解：（1）如图9，过点A作AE⊥BC交BC于点E，在Rt△AEC中，AB=AC=5，43tanC，∴AE=3，BE=EC=4，BC=8，∵DE//AC，∴BDDEBCAC，85xDE，解得58DEx，又∵DF⊥AC，在Rt△DFC中，DC=8—x，43tanC，∴385DFx，∴2153338285216DEFSyxxxx，其中847x；（2）∵∠EDF=∠DFC=90°，∴分两种情况讨论，如图8和图10，当∠FED=∠FCD时，△DFC≌△FDE，在Rt△DEF中，3835tan548xDFFEDDEx，解得25657x；当∠EFD=∠FCD时，在Rt△DEF中，3845tan538xDFFEDDEx，解得14443x；∴存在点D，且BD的长为25657。【点评】本题的背景图形是等腰三角形，首先要通过等腰三角形的知识确定背景图形的边长与锐角的三角比来方5便求解，其次利用图形中的平行与垂直，借助平行比与三角比的知识求解，最后进行相似三角形的存在性推断时，要注意分类讨论思想。例5：如图11，已知抛物线23212xxy的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），以点P为角的顶点，MP为角的一边作∠MPQ=45°，角的另一边PQ与MB交于点Q。（1）设OP=x，TMQ，求T关于x的函数解析式，并写出定义域的取值范围。（2）是否存在以点M、A、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出OP的长；若不存在，请简要说明理由；YXQBPCMAOOAMCPBQXY图11图12解：（1）如图12，联结AM，∵M（1，2），A（—1，0），B（3，0），∴△MAB为等腰Rt△，∠MAB=∠MPQ=∠MBA=45°，AB=4，22MAMB，∴△MAP∽△PBQ，221,322MAAPxPBBQxT，解得2222112034xxTx；（2）当MA=MP时，点P与点B重合，舍去；当MP=AP时，MP⊥AP，点P为AB中点，OP=1；当MA=AP时，22AP，221OP；【点评】本题看起来貌似三角形与二次函数综合性难题，实际上将抛物线去掉，只留关键的点A、M、B、P、Q，就会发现其实是相似三角形中的一线三角问题。本题需要注意的是数学的转换思想，去掉没用的条件，留下关键性条件，就转换成一般性的解题思路。*例6：如图13，在平面直角坐标系中，直线021ttxy分别交x轴、y轴于点A、B，以点M（4，0）、N（8，0）为斜边作等腰Rt△PMN，点P在第一象限。设△OAB与△PMN重叠部分面积为S，求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围。NPMABOXYYXOBAMPNECYXOBAMPN图13图14图15HGFDNPMABOXYYXOBAMPN6图16图17解：如图14，当024t时，02t，此时S=0；如图15，当428t时，24t，过点C作CE⊥x轴交于点E，∵∠PMN=45º，∴CE=AE，设CE=x，则OE=4+x，又∵点C在直线AB上，∴142xxt，解得2433xt，∴212428824233333ttStt；如图16，当8210t时，45t，过点F、D分别作x轴的垂线交于点G、H，设FG=m，则OG=4+m，∴2433mt，224233MFt，1022233PFt，设DH=n，则OH=8-n，∴28nt，2282DNt，10222PDt，∴214401002333tSPFPDt；如图17，当210t时，5t，此时S=0；∴220,02288,24333440100,453330,5ttttStttt。【点评】本题将三角形中的双动点问题放到平面直角坐标系中，实际上可转换成△PMN不动，△AOB在向右移动的情况，根据定义域t的取值范围进行分情况讨论，要学会用几何法与代数法解题。第三部分课后作业A卷1、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P在边BC上运动，连结AP，设BP=x，AP=y，列出y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围。CPBA第1题图72、如