第七章----非线性系统的分析

§7非线性系统的分析教学内容：§7-1非线性控制系统概述§7-2描述函数法§7-3相平面法§7非线性系统的分析学习重点：了解非线性系统的特点，掌握非线性系统与线性系统的本质区别；了解典型非线性环节的特点；理解描述函数的基本概念，掌握描述函数的计算方法；掌握分析非线性系统的近似方法——描述函数法，能够应用描述函数法分析非线性系统的稳定性。§7非线性系统的分析§7-1非线性控制系统概述§7-1非线性控制系统概述包含一个或一个以上非线性元件或环节的系统为非线性系统。实际上自动控制系统的各个环节不可避免的带有某种程度的非线性，线性系统只是非线性系统的近似。非线性系统程度不严重时，在一定范围内或特定条件下，可采用微偏法进行线性化，这种非线性称为非本质非线性。如果系统的非线性具有间断点、折断点，称为本质非线性。这时采用线性系统分析方法去研究会引起很大的误差甚至导致错误的结论。§7-1非线性控制系统概述一、典型非线性特性在铁磁元件及各种放大器中都存在，其特点是当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号变化，而是保持某一常值如图所示1.饱和§7-1非线性控制系统概述理想的饱和特性如图(a)所示，图中，x1为输入信号，x2为输出信号。设)(12xfx将非线性特性视为一个环节，按照线性系统比例环节的描述，定义非线性环节输入与输出的比值为等效增益1112)(xxfxxk从饱和特性曲线上可以看出，其等效增益随着输入信号的加大逐渐减小，因此，饱和特性的存在，使系统的开环增益有所下降，故对动态响应的平稳性是有利的。§7-1非线性控制系统概述由于饱和特性在大信号时的等效增益很低，故带饱和特性的控制系统，一般在大起始偏离下总是具有收敛性质，不会造成愈振愈大的不稳定现象；由于饱和限幅的存在，它可使一切不稳定的系统收敛于自振荡以保证系统的安全。当然，由于等效增益降低，会降低系统的稳态精度；对快速性而言，则相对复杂一些，不能一概而论。§7-1非线性控制系统概述存在不灵敏区的元件，在输入信号很小时系统没有输出。一些测量元件、变换部件和各种放大器，在零位附近常有不灵敏区；作为执行元件的电动机，由于轴上有静摩擦，故加给电枢的电压必须达到某一数值，即所谓空载启动电压，电机才能开始转动，这个空载启动电压就是电动机的不灵敏区。不灵敏区的特性如图所示，图中Δ表示不灵敏区，也称为死区。§7-1非线性控制系统概述2.不灵敏区(死区)§7-1非线性控制系统概述死区最主要的影响就是增大系统的稳态误差。例如，假设电压放大元件存在死区，则当系统偏差信号小于Δ时，等效增益为零，系统相当于开环系统，不会产生任何的控制作用；当执行元件存在死区时，系统的输出就会存在时间上的滞后，影响系统的跟踪精度。当系统存在扰动信号时，在系统动态过程的稳态值附近，死区的作用可减小扰动信号的影响，一定程度上提高了系统的抗干扰能力。§7-1非线性控制系统概述3.间隙(回环)例如齿轮传动，为保证转动灵活不发生卡死现象，是必须和容许有少量间隙存在的，但间隙量不应过大。间隙特性如图所示，显然，输入到输出是一多值的映射，具体的取值由箭头的方向亦即输入的运动方向决定。§7-1非线性控制系统概述4.摩擦在机械传动机构中，摩擦是必然存在的物理因素。图为摩擦力矩Mf与转速ω关系示意图，图中，M1为静摩擦力矩，M2为动摩擦力矩，Mf表示摩擦力矩，ω表示转速。摩擦对系统的影响，依系统的具体情况而定。对小功率的随动系统来说，是一个很重要的非线性因素。对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精度；在复现缓慢变化的低速指令时，会造成爬行现象，影响系统的低速平稳性。§7-1非线性控制系统概述§7-1非线性控制系统概述5.继电器特性由于继电器吸合电压(电流)与释放电压(电流)不等，使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，如图所示。其中图(a)表示理想继电器特性，当吸合与释放值都很小时，可视为这种情况；图(b)表示带死区的继电器特性，此时吸合与释放值较大且二者数值接近；图(c)则为一般继电器特性。理想继电器在原点附近存在跳变，等效增益趋于无穷大；在原点以外的地方，随着输入信号的增加，输出始终保持常值，等效增益逐渐减小。若系统中串有理想继电器，在小起始偏离时开环增益大，运动状态呈发散性质；在大起始偏离时开环增益很小，系统具有收敛性质。因而，继电特性常常会使系统产生振荡现象，但如果选择合适的继电特性可提高系统的响应速度，也可构成正弦信号发生器。§7-1非线性控制系统概述二、非线性控制系统的特点1、不能应用叠加定理2、对正弦输入信号的响应复杂在线性系统中，输入为正弦函数时，稳态输出也是同频率的正弦信号，两者仅在幅值和相位上有所不同，因而可以用频率特性来描述系统的特性。非线性系统对正弦输入信号的响应比较复杂，其稳态输出是包含有谐波分量的非正弦周期函数，有时还可能出现跳跃谐波、倍频、和分频振荡等现象。因此频率法不能直接用于非线性控制系统。§7-1非线性控制系统概述线性系统的稳定性取决于系统的结构与参数，与起始状态无关。非线性系统的稳定性不仅仅和系统的结构与参数有关，还和起始状态有直接关系。一个非线性系统，他的某些平衡状态可能是稳定的，某些平衡状态可能是不稳定的。因此对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念，要研究的是非线性系统平衡状态的稳定性。例1某一阶非线性系统的微分方程为0)1(xxx试分析系统的稳定性3.稳定性§7-1非线性控制系统概述积分得ttexxextx0001)(相应的时间响应随初始条件而变。当时，随t增大，递增；当时，为1；当时，递减并趋于0。不同初始条件下的时间响应曲线如图所示。1ln,1000xxtx)(tx)(tx)(tx1ln,1000xxtx1ln,1000xxtx解：设00)(xtxdtxxdx)1(§7-1非线性控制系统概述从曲线及方程中可以看出，系统有两个平衡状态，即x=0和x=1。按稳定性的定义对平衡状态x=1来说，系统只要有一个很小的偏离，就再也不会回到这一平衡状态上来。因此，x=1的平衡状态是一个不稳定的平衡状态。对于平衡状态x=0来说，系统最终是否会收敛于这一平衡态，还与起始的偏离大小即起始的状态有关。当x01时，响应曲线是发散的；当x01时，响应曲线会收敛于平衡状态。§7-1非线性控制系统概述4.自激振荡从前面线性系统的分析已知，非周期信号作用于线性系统时，只有在临界状态下才会产生周期运动。一旦系统的参数发生微小的变化，都会使系统极点向左或右偏移，响应趋于发散或收敛。在非线性系统中其频率响应除了发散和收敛外，也可能发生一定频率和振幅的周期运动，而当扰动消失后，系统仍维持原来的频率和振幅，亦及这种周期运动具有稳定性。这种稳定的周期运动，称为自激振荡，简称自振，或称为自持振荡。§7-1非线性控制系统概述§7-2描述函数法§7-2描述函数法描述函数法可以看作是对非线性系统的一种线性的近似，是在对系统正弦信号作用下的输出进行谐波线性化处理后得到的，表达形式类似于线性理论中的幅相频率特性。一描述函数的基本概念：1.基本原理和应用条件：（1）满足条件a)正弦波输入，输出为同频率信号。§7-2描述函数法b）输出平均值为零，不产生支流项即要求非线元件输入输出特性斜对称。c)系统线性部分有较好的低通滤波特性。（2）谐波线性化在满足上述条件下用非线性系统中元件输出的一次谐波分量去代替正弦作用下的实际输出，忽略高次谐波分量。这样就可以把非线性元件作为一个基本环节，用某描述函数代替它的传函之后，用频率特性对正弦进行分析。例2：对于理想继电器特性，输入为tXtxsin)(§7-2描述函数法输出为同周期的方波信号。§7-2描述函数法将其输出展开为傅里叶级数012)12sin(4)5sin513sin31(sin4)(nntnMtttMty方波函数可以看作无数个正弦分量的叠加，包含基波分量和高次谐波分量，各谐波分量的振幅和频率的关系称为该方波的频谱。将上式推广至任一个非线性系统，当加以正弦输入信号时，其稳态输出一般为同周期的非正弦信号，将其展开为傅里叶级数tXtxsin)(§7-2描述函数法式中§7-2描述函数法非线性特性为奇对称，则直流分量A0=0；同时，各谐波分量的幅值与基波相比一般都比较小；因此，可以忽略式中的高次谐波分量，只考虑基波分量，这种近似也称为谐波线性化。则2.描述函数非线性环节进行谐波线性化处理后，可以依照线性环节频率特性的定义，建立非线性环节的等效频率特性，即描述函数。§7-2描述函数法定义在正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中基波分量和输入正弦信号的复数比为非线性环节的描述函数，用N(X)表示1121211111arctansin)sin()(BAXBAXYtXtYXN例3：设非线性放大器输入输出特性为试计算其描述函数。解：因为为的奇函数，故有)(xyx,0,0,0110AA计算1B§7-2描述函数法得描述函数为系统的特性曲线与描述函数曲线分别如图§7-2描述函数法可以看出，描述函数不仅是输入正弦信号频率的函数，而且也是输入信号振幅的函数，这正是非线性特性的一种反映。因此，描述函数法本质上是不同于线性环节的频率特性，是非线性理论的一个概念。§7-2描述函数法二、典型非线性元件的描述函数根据定义式11212111arctan)(BAXBAXYXN由于理想继电特性为单值的奇函数，1.理想继电器特性的描述函数,0,0,0110AAMtdtMtdtMtdttyB4sin4sin4sin)(12020201§7-2描述函数法描述函数为2.死区特性的描述函数§7-2描述函数法由于特性仍为单值奇函数，故只需要求解B1§7-2描述函数法3.饱和特性的描述函数§7-2描述函数法§7-2描述函数法三.非线性系统的描述函数分析描述函数是对非线性环节进行谐波线性化处理后得到的，故可将线性系统的相关理论推广到非线性系统。典型结构表示如图)(XN)(jW系统闭环频率特性)()(1)()()(jWXNjWXNjWB非线性系统的奈氏判据1.稳定性分析§7-2描述函数法即)(1)(XNjW称为负倒描述函数与线性系统的奈氏判据相比，相当于线性系统中开环幅相平面的点)(1XN)0,1(j0)()(100jWXNK)(1)(00XNjWK特征方程0)()(1jWXN通常取基准描述函数)(0XN令基准负倒描述函数)(10XN§7-2描述函数法非线性系统稳定性的判别方法如下：)(10XN不被)(0jWK包围，系统稳定)(10XN被)(0jWK包围，系统不稳定2.自振分析§7-2描述函数法若非线性系统存在一组参数),(X使)(1)(00XNjWK成立。)(10XN与)(0jWK即相交，非线性系统在交点处处于等幅振荡状态，产生周期运动。只有稳定的周期运动才称之为自振。§7-2描述函数法1M2M)(10XN)(0jWKReImX§7-2描述函数法例4.已知非线性系统的结构图，为使系统不产生自振，试用描述函数法确定继电器特性参数a,b§7-2描述函数法例5.利用描述函数法分析具有饱和非线性的控制系统，如图（1）当线性部分的K=5时，判断系统是否产生自振。如果产生自振，求出它的振幅和频率。（2）欲使系统稳定，试求出放大系数K的取值范围。42)2)(1(ssske§7-2描述函数法解:饱和非线性的描述函数为20)/1(1/1/1arcsin2)(dXdXdXKXN20)/1(1/1/1arcsin2)(dXdXdXdXN将曲线和曲线画在同一复平面上.)(10dXN)(0jWK非线性部分:基准负倒描述函数20)/1(1/1/1arcsin21)(1dXdXdXdXNd