全国2010年4月高等教育线性代数自考试题

═════════════════════════════════════════════════════════全国2010年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设A，B，C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（）A．ACBB．CABC．CBAD．BCA2．设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（）A．-8B．-2C．2D．83．已知A=333231232221131211aaaaaaaaa，B=333231232221131211333aaaaaaaaa，P=100030001，Q=100013001，则B=（）A．PAB．APC．QAD．AQ4．设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，A的秩为r1，B=AC的秩为r，则（）A．rr1B．r=r1C．rr1D．r与r1的关系不能确定5．已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）A．若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2B．若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2C．若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0D．若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为06．下列命题中错误．．的是（）A．只含有一个零向量的向量组线性相关B．由3个2维向量组成的向量组线性相关C．由一个非零向量组成的向量组线性相关D．两个成比例的向量组成的向量组线性相关7．已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3,β线性相关，则（）A．α1必能由α2,α3,β线性表出B．α2必能由α1,α3,β线性表出C．α3必能由α1,α2,β线性表出D．β必能由α1,α2,α3线性表出═════════════════════════════════════════════════════════8．设A为m×n矩阵，m≠n，则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（）A．小于mB．等于mC．小于nD．等于n9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（）A．ATB．A2C．A-1D．A*10．二次型212322213212),,(xxxxxxxxf的正惯性指数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．行列式2010200920082007的值为_________.12．设A为n阶可逆矩阵，且|A|=n1，则|A-1|=_________.13．设矩阵A=102311，B=1002，则ATB=_________.14．矩阵方程1011X=1112的解X=_________.15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=_________.16．齐次线性方程组0320321321xxxxxx的基础解系所含解向量的个数为_________.17．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵1231A必有一个特征值为_________.18．设矩阵A=00202221x的特征值为4，1，-2，则数x=_________.19．已知A=100021021ba是正交矩阵，则a+b=_________.20．二次型323121321624),,(xxxxxxxxxf的矩阵是_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）═════════════════════════════════════════════════════════21．计算行列式D=333222ccbbaacbacba的值.22．设A=0000000000004321aaaa，其中ai≠0（i=1,2,3,4），求A-1.23．设向量组α1=(2,1,3,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(-1,1,-3,0)T，α4=(1,1,1,1)T，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.24．问a为何值时，线性方程组63222243232132321xxxaxxxxx有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）.25．求矩阵A=320230002的特征值和全部特征向量.26．已知二次型22212121545),(xxxxxxf经正交变换2121yyxxP化为标准形222137yyf，求所用的正交矩阵P.四、证明题（本题6分）27．设A，B都是n阶方阵，且|A|≠0，证明AB与BA相似.