全国2011年4月自考线性代数(经管类)试题及答案

全国2011年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．下列等式中，正确的是（）A．(200041)=2(100021)B．3(123456)=(369456)C．5(1002)=10D．−(1200−3−5)=(−1−20035)2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（）A．(111010001)B．(200020002)C．(108010001)D．(108018001)3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=(𝟎𝑩𝑨𝟎)，则C-1是（）A．(𝑩−𝟏𝟎𝟎𝑨−𝟏)B．(𝟎𝑩−𝟏𝑨−𝟏𝟎)C．(𝟎𝑨−𝟏𝑩−𝟏𝟎)D．(𝑨−𝟏𝟎𝟎𝑩−𝟏)4．设A为3阶矩阵，A的秩r(A)=3，则矩阵A*的秩r(A*)=（）A．0B．1C．2D．35．设向量𝛂1=(−1,4)，𝜶2=(1,−2)，𝜶3=(3,−8)，若有常数a,b使𝑎𝜶1−𝑏𝛂2−𝜶3=𝟎，则（）A．a=-1,b=-2B．a=-1,b=2C．a=1,b=-2D．a=1,b=26．向量组𝜶1=(1,2,0),𝜶2=(2,4,0),𝜶3=(3,6,0),𝜶4=(4,9,0)的极大线性无关组为（）A．𝜶1,𝜶4B．𝜶1,𝜶3C．𝜶1,𝜶2D．𝜶2,𝜶37．设矩阵A=(100220340)，那么矩阵A的列向量组的秩为（）A．3B．2C．1D．08．设λ=3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(14𝐴)−1有一个特征值等于（）A．−43B．−34C．34D．439．设矩阵A=(−100212312)，则A的对应于特征值λ=0的特征向量为（）A．（0，0，0）TB．（0，2，-1）TC．（1，0，-1）TD．（0，1，1）T10．二次型2221213212),,(xxxxxxxf的矩阵为（）A．(2−1−11)B．(2−12−121)C．(2−120−1210000)D．(2−10−110000)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．行列式|111123149|=__________.12．行列式2235001011110403中第4行各元素的代数余子式之和为__________.13．设矩阵A=(112−231)，B=（1，2，3），则BA=__________.14．设3阶方阵A的行列式|A|=21，则|A3|=__________.15．设A，B为n阶方阵，且AB=E，A-1B=B-1A=E，则A2+B2=__________.16．已知3维向量𝜶=（1，-3，3），𝜷=（1，0，-1）则𝜶+3𝜷=__________.17．设向量𝜶=（1，2，3，4），则𝜶的单位化向量为__________.18．设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为__________.19．设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为41,31,21，则行列式|B-1|=__________.20．设A=(122𝑎)是正定矩阵，则a的取值范围为__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．已知矩阵A=(1112−10101)，B=(100210021)，求：（1）ATB；（2）|ATB|.22．设A=(123221343)，B=(2153)，C=(132031)，且满足AXB=C，求矩阵X.23．求向量组𝜶1=（1,2,1,0）T，𝜶2=（1,1,1,2）T，𝜶3=（3,4,3,4）T，𝜶4=（4,5,6,4）T的秩与一个极大线性无关组.24．判断线性方程组1542421343143214321xxxxxxxxxxx是否有解，有解时求出它的解.25．已知2阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=9，对应的特征向量依次为𝜶𝟏=（-1，1）T，𝜶𝟐=（7，1）T，求矩阵A.26．已知矩阵A相似于对角矩阵Λ=(−1002)，求行列式|A-E|的值.四、证明题（本大题共6分）27．设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.证明：（1）AB-BA为对称矩阵；（2）AB+BA为反对称矩阵.