全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选《等差数列求和公式》

【课题】6．2等差数列【教学目标】知识目标：理解等差数列通项公式及前n项和公式．能力目标：通过学习前n项和公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等差数列的前n项和的公式．【教学难点】等差数列前n项和公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等差数列的前n项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前n项和公式；难点是前n项和公式的推导以及知识的简单实际应用．等差数列前n项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用．等差数列中的五个量1a、d、n、na、nS中,知道其中三个,可以求出其余两个,例5和例6是针对不同情况,分别介绍相应算法．例7将末项看作是首项的思想是非常重要的,以这类习题作为载体,对培养学生的创新精神是十分重要的．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题6．2等差数列．*创设情境兴趣导入【趣味数学问题】高斯【百度百科】从小故事教学过程教师行为学生行为教学意图时间数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋．据传说，老师在数学课上出了一道题目：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来!”对于这些十岁左右的孩子，这个题目是比较难的．但是高斯很快就得到了正确的答案，此时其他的学生正在忙碌地将数字一个个加起来，额头都流出了汗水．小高斯是怎样计算出来的呢?他观察这100个数高斯1,2,3,4,5,…，96,97,98,99,100.并将它们分成50对，依次计算各对的和：1+100=1012+99=1013+98=1014+97=1015+96=101……50+51=101所以，前100个正整数的和为10150=5050.质疑引导分析思考参与分析讲起引起学生兴趣10*动脑思考探索新知从小到大排列的前100个正整数，组成了首项为1，第100项为100，公差为1的等差数列．小高斯的计算表明，这个数列的前100项和为21001001．现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前n项和．总结思考带领教学过程教师行为学生行为教学意图时间将等差数列na前n项的和记作nS．即12321nnnnSaaaaaa．（1）也可以写作12321nnnnSaaaaaa．（2）由于nnaaaa11，2111nnnaaadadaa，nnnaadadaaa112322，……(1)式与（2）式两边分别相加，得12nnSnaa，由此得出等差数列na的前n项和公式为（6.3）即等差数列的前n项和等于首末两项之和与项数乘积的一半．知道了等差数列na中的1a、n和na，利用公式（6.3）可以直接计算nS．将等差数列的通项公式dnaan11代入公式（6.3），得12nnnaaS．归纳仔细分析讲解关键词语归纳理解记忆学生总结问题得到等差数列求和公式引导启发学生思考求解（6.4）112nnnSnad教学过程教师行为学生行为教学意图时间知道了等差数列na中的1a、n和d，利用公式（6.4）可以直接计算nS．【想一想】在等差数列{}na中，知道了1a、d、n、na、nS五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？20*巩固知识典型例题例5已知等差数列na中，18a,20106a,求20S．解由已知条件得202081069802S．例6等差数列,3,1,5,9,13…的前多少项的和等于50？解设数列的前n项和是50，由于,4)1(3,131da故(1)50134,2nnn即0501522nn，解得(25,1021nn舍去），所以，该数列的前10项的和等于50．说明强调引领讲解说明引领分析强调含义说明观察思考主动求解观察思考求解领会通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点反复强调教学过程教师行为学生行为教学意图时间【想一想】例6中为什么将负数舍去？思考求解30*运用知识强化练习练习6.2.31.求等差数列1,4,7,10,…的前100项的和．2.在等差数列{na}中,4a=6,269a,求20S．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳40*巩固知识典型例题例7某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？解1由题意知，各排座位数成等差数列，设公差d=2,7025a，于是2)125(701a，解得221a．所以2525(2270)11502S．答礼堂共有1150个座位．解2将最后一排看作第一排，则701a,2d，n=25，因此2525(251)(2)25701150.2S答礼堂共有1150个座位．【想一想】比较本例题的两种解法，从中受到什么启发?说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点教学过程教师行为学生行为教学意图时间例8小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款．从元月份开始，每月第1天存入银行1000元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）总额是多少（精确到0.01元）?【说明】年利率1.71%，折合月利率为0.1425%．计算公式为月利率=年利率÷12．解年利率1.71%，折合月利率为0.1425%．第1个月的存款利息为1000×0.1425%×12（元）；第2个月的存款利息为1000×0.1425%×11（元）；第3个月的存款利息为1000×0.1425%×10（元）；……第12个月的存款利息为1000×0.1425%×1（元）．应得到的利息就是上面各期利息之和．10000.1425%(12312)111.15nS（元），故年终本金与利息之和总额为12×1000+111.15=12111.15（元）．引领分析强调含义说明观察思考求解领会思考求解反复强调50练习6.2.41．如图一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管，往上每一层都比他下面一层多放一个，最上面一层放30根钢管，求这个V形架上共放着多少根钢管．2．张新采用零存整取方式在农行存款．从元月份开始，每月第1天存入银行200元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本利和总额是多少（精确到0.01元）?启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳60*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：质疑以小组讨第1题图教学过程教师行为学生行为教学意图时间等差数列的前n项和公式是什么？结论：12nnnaaS，112nnnSnad．归纳强调回答理解强化论师生共同归纳的形式强调重点突破难点70*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了20层瓦片，问共铺了多少块瓦片．提问巡视指导反思动手求解培养学生总结反思学习过程的能力80*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学习指导6．2（选做）(3)实践调查：运用等差数列求和公式解决生活中的一个实际问题说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；自我简介：省份：山东省学校：山东省民族中等专业学校姓名：田兴福职称：高级讲师电话：[phone]电子邮件：[e-mail]通讯地址：山东省民族中等专业学校数学组