例谈中考压轴题的存在性问题__东莞市清溪中学_杨东科

例谈中考压轴题的存在性问题【摘要】存在性问题是中考压轴题中常考的题型，涵盖的知识面广，对学生的要求较高，很多学生对此类问题束手无策.本文从二次函数、直线形几何、图形变化等三方面的存在性问题作解析，以得到解决此类存在性问题的解题策略，同时结合数学思想方法对该类型的存在性问题作点评.【关键词】存在性；二次函数；直线形；图形变换；数学思想方法存在性问题的知识覆盖面较广，综合性较强，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高，是今年来中考压轴题常见的题型。存在性问题往往与平面几何知识、函数知识、、三角形面积、三角形相似和全等、勾股定理相结合，同时要运用分类讨论、数形结合思想、方程思想等等数学思想方法综合解决问题，有些学生在解决这类问题时，会出现漏解、错解，甚至无从下手等现象。笔者多年在初三任教备战中考，对存在性问题作了一点分析和归纳，试图通过对2012年全国部分省市有关此类存在性问题的解析，以期帮助学生顺利找到解决此类问题的解题策略和注意的问题.1二次函数问题中的存在性1．1二次函数中动点与三角形的存在性例1（2012年临沂市第26题）如图1，点A在x轴上，OA=4，讲线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）如图2，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=21OB=2，3260sinBCOB（2）∵抛物线经过原点O和点A、B，∴设抛物线解析式为bxaxy2，将点A（4,0），B(-2，32)代人，得32240416baba，即33263ba，∴抛物线的解析式为xxy332632；（3）存在符合条件的点P.如图2，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22242y，解得32y，当32y时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，图1图2sin∠POD=23OPPD，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴32y不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，32）.②若OB=PB，则2224)32(4y，解得32y，故点P的坐标为（2，32）.③若OP=BP，则22222)32(4yy，解得32y，故点P的坐标为（2，32）.综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，32）.点评：此题主要考查了二次函数知识的综合应用以及等腰三角形的性质、判断等知识，对于题目中“是否存在点P使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？”，由于没有明确等腰三角形的底和腰，所以要分类讨论，同时在求点P坐标时，还要充分注意图形的几何特点，采用数形结合和方程等数学思想方法的应用.1．2二次函数中动点与四边形的存在性例2（2012年安顺是第26题）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线cbxaxy2经过点A、B，且18a+c=0.（1）求抛物线的解析式（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度线终点C移动.①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，。并写出t的取值范围；②当S取最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.解：（1）由题意知点A（0，-12），∴c=-12，又18a+c=0，∴a=32，∵AB∥OC,且AB=6，∴抛物线的对称轴是32abx，∴b=-4，∴抛物线的解析式是124322xxy；（2）①9)3(6)6(22122tttttS，)60(t②当t=3是S取最大值为9.这时点P的坐标（3，-12），点Q坐标（6，-6），若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标是（3，-18）代人抛物线的解析式中，所以存在，点R的坐标就是（3，-18）.当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标是（3，-6）代人抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.当点R在BQ的右边，且在PB上方是，点R的坐标是（9，-6）代人抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件.图1yxQCBAOP综上所述，满足条件的点R坐标为（3，-18）.点评：此题由矩形OABC的边长写出矩形顶点的坐标，结合已知条件下不难求出抛物线的解析式，虽然是双动点的运动，但与B点构成的三角形不需要分类讨论。抛物线上的点R与P、B、Q三点组成平行四边形，由于没有指明顶点的顺序，所以要分类讨论，不仅要考虑点R在BQ左边或右边的情况，同时还要考虑点R在PB的上方或下方，此处容易考虑不周.2直线形问题中的存在性2．1三边形中动点相关的存在性例3（2012年青岛市第24题）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止爱运动。连接PQ，设运动时间为t（s）)40(t.解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为29:1:PQBCD五边形SSPQE？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由.解：(1)在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，所以108622AB.∵D、E分别是AC、AB的中点.∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且DE=21BC=4，∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=90°，又DE∥BC，∴∠AED=∠B，∴△PQE∽△ACB，∴BCQEABPE.由题意得PE=4-t，QE=2t-5，即852104tt，解得1441t；(2)如图2，过点P作PM⊥AB，垂足为M，由△PME∽△ACB，得ABPEACPM，∴1046tPM，得)4(53tPM.∴6103953)4(53)2-521PMEQ212PQEttttS（△，1838421DCBE）（梯形S.∴12103953)6103953(18y22tttt；（3）存在时刻t，使得29:1:PQBCD五边形SSPQE，此时BCDEPQE301梯形△SS.∴1830161039532tt，即0181322tt.图2QMPEDCBA∴舍去）(29,221tt.当t=2时，520551356MQPMPQ2222）（）（.∵5321hPQ，∴2052056205556h（或2056）点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，将相似三角形与二次函数融合在一起，运用了勾股定理、三角形面积公式知识，综合性较强，此类型的存在性问题是中考常考题型.此类问题常以点的移动引起三角形中相关数据的变化，确切的说，是用函数的观点去分析动态问题，但函数只是一个工具，其重点还是利用三角形的相关性质.2．2多边形中动点相关的存在性例4（2012年临沂市第25题）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由；（3）如图，当b2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由.解：（1）证明：∵b=2a，点M是边AD的中点，∴AB=AM=MD=DC.又∵四边形ABCD是矩形，∠A=∠D=90°，∴∠AMB==∠DMC=45°，∴∠BMC=90°（2）存在.理由如下：若∠BMC=90°，则∠AMB+∠DMC=90°，又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC，又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC，∴DMABCDAM，∴AMbaaAM，设AM为x，整理得022abxx，∵ab2，0a，0b，∴042acb，∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于0，符合题意.∴当ab2时，存在∠BMC=90°；（3）不存在.理由如下：若∠BMC=90°，由（2）可知022abxx.∵0,0,2baab，∴042acb，∴方程吴实数根.∴当ab2时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立.点评：本题涉及动点问题，比较复杂，解答此题的关键是根据题意分析图形，确定△ABM∽△DMC，图3图2图1ABCDMABCDMMDCBA图1QRNMFGEHDCBA由数形结合便可解答.本题要充分应用数形结合的思想方法.3图形变换中的存在性3．1图形平移中的存在性例5（2012年珠海市第22题）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=23，DC=2，高CE=22，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC与F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为1S，被直线RQ扫过的面积为2S，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒.（1）填空：∠AHB=__________；AC=__________；（2）若123SS，求x；（3）若12mSS，求m的变化范围.解：（1）90°，4；（2）直线移动有两种情况：230x和223x.①当230x时，∵MN∥RQ∥BD，∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△AQG.4)(212AFAGSS.∴11234SSS；②当223x时，如图2，xCG24，1CH，21421BCD△S,22CRQ2x)-8(212-42）（△xS,2132xS,22)2(88xS,由123SS，得方程22323)2(88xx，解得561x（舍去），22x.∴2x；（3）当230x时，4m，当223x时，由12mSS，得4)321(3612483632)2(882222xxxxxm.m是x1的二次函数，当223x时，即当32121x时，m随x1的增大而增大.G图2QRNMFEHDCBAHGFEADBCP图1QHGFEADBCP图2图1BAMOPQ当32x时，最大值m=4.当x=2时，最小值m=3.∴43x.点评：本题是一道几何代数综合题，重点考查等腰梯形、相似三角形的性质，二次函数的性质、最值和分论讨论，是又特殊到一般的数学思想等的综合应用。3．2图形旋转中的存在性例6（2012年南充市第21题）在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，吧一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.（1）求证：MA=MB；（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.解：（1）连接OM.如图2.∵△PQO是等腰直角三角形且M是斜边