全等三角形压轴题分类解析

1七年级下三角形综合题归类考点2：利用角相等证明垂直1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.BACEFQPDBACEFQPBACEFQPDABCDEF图924.如图1，ABC的边BC在直线l上，,ACBC且,ACBCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接,APBQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结,APBQ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.三、等腰三角形（中考重难点之一）考点1：等腰三角形性质的应用1.两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，,,EAC三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结,MEMC．试判断EMC的形状，并说明理由．MEDCBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知RtABC中，ACBC，90C，D为AB边的中点，90EDF，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证12DEFCEFABCSSS．当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，DEFS，CEFS，ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．FEDCBA图1AECFBD图2AECFBD图32.已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(1)BF=AC(2)CE=12BF(3)CE与BC的大小关系如何。l(1)AB(F)(E)CPABECFPQ(2)lABECFPl(3)QABCDEF3考点2：等腰直角三角形（45度的联想）1.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明2.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．①求证：DG=DC②判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（直接写出结论，不必证明）同类变式：已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的平分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时○1猜想AE与EF满足的数量关系是.○2连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是.○3请证明你的上述猜想；（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？附加思考题：以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90BADCAE.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．ADBCGE图2GHFEDCBA图1图（1）NFMCBAE图（2）FMCBA4⑴如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段AM与DE的数量关系是；⑵将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．图①NMEDCBA图②NMEDCBA24、已知：如图，矩形ABCD中点G为BC延长线上一点，连接,DGBHDGH于，且GHDH，点,EF分别在,ABBC上，且//EFDG。（1）若3,2ADCG，求DG的长；（2）若GFADBE，求证：12EFDG。12、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为13时，求正方形的边长.28．如图甲，已知∠ABC=90°，△ABD是边长为2的等边三角形，点E为射线BC上任意一点（点E与点B不重合），连结AE，在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．（1）如图乙，当BE=BA时，求证：△ABE≌△ADF；（2）如图甲，当△AEF与△ABD不重叠时，求∠FGC的度数；（3）若将已知条件中的“在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．”改为“在AE的下方作等边三角形AEF，连结FD交射线BC于点G．”（如图丙所示），试问当点E在何处时BD∥EF？并求此时△AEF的周长．EADBCNM图甲ACBDFGE图乙ABDFEGC图丙FGACBDE