信号与系统习题答案(7-10)

7.22信号()yt由两个均为带限的信号1()xt和2()xt卷积而成，即12()()()ytxtxt其中12()0,1000()0,2000XjXj现对()yt作冲激串采样，以得到()()()pytynTtnT请给出()yt保证能从()pyt中恢复出来的采样周期T的范围。解：根据傅立叶变换性质，可得12()()()YjXjXj因此，有当1000时，()0Yj即()yt的最高频率为1000，所以()yt的奈奎施特率为210002000，因此最大采样周期3210()2000Ts，所以当310()Ts时能保证()yt从()pyt中恢复出来。7.27如图7.27（a）一采样系统，)(tx是实信号，且其频谱函数为)(jX，如图7.27（b）。频率0选为21021，低通滤波器jH的截至频率为1221c。1.画出输出tx2的频谱jX2；2.确定最大采样周期T，以使得tx可以从txp恢复；1()Xj102121222()Xj10212122图7.27（a）图7.27(b)解：1、)(tx经复指数调制后的01()()jtxtxte，其傅立叶变换为10()(())XjXj如图（a）所示。图（a）图（b）经低通滤波器()Hj的输出2()xt的频谱2()Xj如图（b）所示。2、由图（b）可见，2()Xj的带宽为21，所以最大采样周期为max212T8.3设xt是一实值信号，并有0Xj，2000，现进行幅度调制以产生信号sin2000gtxtt，图4-1给出一种解调方法，其中gt是输入，yt是输出，理想低通滤波器截止频率为2000，通带增益为2，试确定yt。图4-1解：1()cos(2000)sin2000cos(2000)sin40002wtgtxttxtt对()wt进行傅立叶变换11()(4000)(4000)44WjXjXjjj因为02000,Xj很明显，()02000,Wj，所以()wt通过截止频率为2000的理想低通滤波器后的输出()0yt。9.17解：系统可以看作是由1Hs和2Hs的并联构成12214(2)8sHsss21112(1)2sHsss1223121016sHsHsHsss2()312()1016YssHsXsss2()(1016)()(312)YsssXss求上式反变换，有2()()()1016()12()3dytdytdxtytxtdtdtdt9.28考虑一LTI系统，其系统函数Hs的零极点图如图9.28所示。1.指出与该零极点图有关的所有可能的收敛域ROC。理想低通滤波器cos2000tgtytwt╳╳╳+1+2-1-2ImRe2.对于1中所标定的每个ROC，给出有关的系统是否是稳定和/或因果的。图9.28解：1.可能的收敛域ROC为：（1）Re{}2s（2）2Re{}1s（3）1Re{}1s（4）Re{}1s2.（1）Re{}2s，不稳定和反因果的。（2）2Re{}1s，不稳定和非因果的。（3）1Re{}1s，稳定和非因果的。（4）Re{}1s，不稳定和因果的。9.31有一连续时间LTI系统，其输入tx和输出yt由下列微分方程所关联：22()()2()()dytdytytxtdtdt设Xs和Ys分别是tx和yt的拉普拉斯变换，Hs是系统单位冲激响应ht的拉普拉斯变换。1.求Hs，画出Hs的零极点图。2.对下列每一种情况求ht：（1）系统是稳定的。（2）系统是因果的。（3）系统既不稳定又不是因果的。解：1、对给出的微分方程两边作拉普拉斯变换，得()es21Im()s22sYssYsYsXs所以得2()11()2(2)(1)YsHsXsssss其零—极点图如图（a）所示。图（a）2、2()111111()2(2)(1)3231YsHsXsssssss（1）当系统是稳定时，其收敛域为12s，所以有211()()33tthteuteut（2）当系统是稳定时，其收敛域为2s，所以有211()()33tthteuteut（3）当系统是非因果的和不稳定的时，其收敛域为1s，所以有211()()33tthteuteut10.18解：（a）121216821139zzHZzz（此为直接型Ⅱ结构，详见第二章课件分析）由1212()16821()139YZzzHZXZzz得121221()(1)()(168)39YZzzXZzz求上式Z反变换，得21[][1][2][]6[1]8[2]39ynynynxnxnxn（b）系统有一个二阶极点13z，由于系统是因果的，所以收敛域为36阶极点ImRe13z，包括单位圆，故系统是稳定的10.28已知序列0.956xnnna.求该序列的z变换()Xz。b.画出()Xz零极点图。c.利用考虑极点向量和零点向量沿单位圆横穿一周时的特性，近似画出xn傅里叶变换的模特性。解：a、xn的z变换为6660.95()10.95zXzzz，||0zb、由()Xz可知，在0z处有一6阶极点，其零点为1/63(0.95)kjkze，0,1,25k其零—极点图如图（a）所示图（a）c、傅氏变换的幅值近似图如图（b）所示。()jXe图（b）10.34（P583）有一个因果LTI系统，其差分方程为121ynynynxn1.求该系统的系统函数，画出Hz的零极点图，指出收敛域。1.62ImRe0.6212.求系统的单位脉冲响应。3.判断该系统是不是稳定的？如果是不稳定的，试求一个满足该差分方程的稳定（非因果）单位脉冲响应。解：1、1、对所给的差分方程两边进行z变换，得121()()()YzzYzzYzXz所以得11212()()()1()()YzzzHzXzzzzz，15||2z其中，1151.622，2150.622系统函数()Hz的零点为0z，极点为1z和2z系统的零极点图如图（a）所示图（a）2、因为11121/51/5()()()15151()1()22zHzzzzz所以115115[][]2255nnhnunun[]xn[]yn1z3k4k3、系统是不稳定的，因为系统的收敛域为15||2z，不包括单位圆。若要使系统稳定，则收敛域应包括单位圆，即收敛域为5115||22z此时有115115[1][]2255nnhnunun10.59一个数字滤波器的结构如图10.59所示图10.59a.求这个因果滤波器的Hz，画出零极点图，并指出收敛域。b.当k为何值时，该系统是稳定的。c.如果1k且对所有的n，2[]3nxn，确定[]yn。解：a.由图（1）得[]xn[]yn1z3k4k1[]wn2[]wn图（1）12()()()YzWzWz111()()()3kWzXzzWz所以111()()3kzWzXz而14k121()()4kWzzWz得11211()()4()()()1133kzXzXzYzWzWzkkzz111()4()()313kzYzkHzzkXzz,其零极点图和收敛域示意图如图（2）所示。（a）（b）图（2）b．只有3k时，收敛域才包含单位圆，系统才能是稳定的。c.由于2[]3nxn是LTI系统的特征函数，所以输出232[]()|3nzynHz1k时，代入得1213112524[]|1312313nnzzynz