信号与系统教案(第7次课)

第三章离散系统的时域分析§3.1LTI离散系统的响应注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。差分与差分方程差分方程的经典解零输入响应和零状态响应一、差分与差分方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。1.差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：定义差分（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分的线性性质：[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二阶差分定义：2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)2.差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。一般不易得到解析形式的(闭合)解。二、差分方程的经典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k)1.齐次解：齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0特征方程1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0，即λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)称为差分方程的特征根。tttftfttfttftkfttfttt)()(lim)()(lim)(limd)(d000kkkfkfkkf)1()()1()()1()1()()(kkkfkfkkf根据特征根，齐次解的两种情况2）有重根特征根λ为r重根时2.特解yp(k):特解的形式与激励的形式类似P87表3-1三、零输入响应和零状态响应y(k)=yzi(k)+yzs(k)1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次齐次解形式：C由初始状态定（相当于0-的条件）2.零状态响应：初始状态为0，即求解方法：1）经典法：齐次解+特解；2）卷积法。§3.2单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应单位序列δ(k)所引起的零状态响应，记为h(k)。h(k)=T[{0},δ(k)]二、阶跃响应g(k)=T[ε(k),{0}]因为δ(k)=ε(k)–ε(k–1)=ε(k)所以两个常用的求和公式：(k2≥k1)阶方程无重根1nλλλn21）knnkkhCCCky2211krrrrhCkCkCkCky)(012211kC021zszsyy系统{0})(k)(khNiih,3,2,100)()()(jkjjkik0)()()(jkjjkhihkg11111212121akkaaaaakkkkjj2)1)((121221kkkkjkkj