信号与系统知识要点

《信号与系统》知识要点第一章信号与系统1、周期信号的判断（1）连续信号思路：两个周期信号()xt和()yt的周期分别为1T和2T，如果1122TNTN为有理数（不可约），则所其和信号()()xtyt为周期信号，且周期为1T和2T的最小公倍数，即2112TNTNT。（2）离散信号思路：离散余弦信号0cosn（或0sinn）不一定是周期的，当①02为整数时，周期02N；②1022NN为有理数（不可约）时，周期1NN；③02为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。2、能量信号与功率信号的判断（1）定义连续信号离散信号信号能量：2|()|kEfk信号功率：def2221lim()dTTTPfttT/22/21lim|()|NNkNPfkN（2）判断方法能量信号：P=0E，功率信号：PE=，（3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。ttfEd)(2def例如：ε(t)是功率信号；tε(t)为非功率非能量信号;3、典型信号①指数信号：()atftKe，aR②正弦信号：()sin()ftKt③抽样信号：sin()tSatt欧拉公式：-cos+sincos-sin1cos()21sin()2jtjtjtjtjtjtetjtetjtteeteej4、信号的基本运算1)两信号的相加和相乘2)信号的时间变化a)反转:()()ftftb)平移:0()()ftfttc)尺度变换:()()ftfat3)信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。5、阶跃函数和冲激函数（1）单位阶跃信号00()10tutt0t是()ut的跳变点。（2）单位冲激信号定义：性质：()1()00tdttt0ftt00K0OttfKTπ2π2ttSa1ππ2π3Oπ1）取样性11()()(0)()()()fttdtfttftdtft()()(0)()fttft000()()()()ftttfttt2）偶函数()()tt3）尺度变换1()atta4）微积分性质d()()duttt()d()tut（3）冲激偶()t性质：()()(0)()(0)()fttftft()()d(0)ftttf()d()tttt()()tt()d0tt（4）斜升函数()()()dtrttt（5）门函数()()()22Gttt6、系统的特性（重点：线性和时不变性的判断）（1）线性1）定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。当激励为1122()()CftCft时，系统的响应为1122()()CytCyt。2）线性系统①分解特性：)()()(tytytyzszi②零输入线性③零状态线性（2）时不变性:当激励为0()ftt时，响应为0()ytt。（3）因果性（4）稳定性（5）微、积分特性。第二章连续系统的时域分析1、时域分析法；强迫响应自由响应全响应)()()(tytytyph；零状态响应零输入响应全响应)()()(tytytyzszi（一般都可以通过复频域分析法求）零状态响应)()()(thtftyzs2、冲激响应与阶跃响应（1）定义：冲激响应：由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应，记为h(t)。阶跃响应：由单位阶跃函数ε(t)所引起的零状态响应，记为g(t)。（2）关系：,tdgthtgthddt3、卷积积分（1）定义1212*ftftfftd（两个因果信号的卷积，其积分限是从0到t）（2）计算：一般计算用拉普拉斯变换；如果要计算某一个值，比如设12*ftftft，计算3f，用图示法。图示法可分解为四步：1）换元：t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(-τ)右移t→f2(t-τ)3）乘积：f1(τ)f2(t-τ)4）积分：τ从-∞到∞对乘积项积分。（3）性质：a）代数律（交换律；结合律、分配律）b）*fttft00*ftttftt)()(*)(2121tttfttttf()*()()tttt()*()()dtfttfc）卷积的微分与积分：设12*ftftft，则12*ijijftftftd）卷积结果函数定义域的确定设1ft的定义域为：12ttt，2ft的定义域为：34ttt，那么12*ftftft的定义域为：1324ttttt第三章离散系统的时域分析1、时域分析法全响应y(k)=自由响应yh(k)+强迫响应yp(k)全响应y(k)=零输入响应yzi(k)+零状态响应yzs(k)（一般都可以通过Z域分析法求）零状态响应*zsykfkhk2、序列δ(k)和ε(k)（1）单位(样值)序列δ(k)定义：取样性质：（2）单位阶跃序列ε(k)（3）ε(k)与δ(k)的关系3、单位序列响应与阶跃响应（1）定义冲激响应：由单位冲激函数δ(k)所引起的零状态响应，记为h(k)。阶跃响应：由单位阶跃函数ε(k)所引起的零状态响应，记为g(k)。（2）关系0()()()kijgkhihkj()()(1)hkgkgk（3）两个常用的求和公式12211211111kkkjjkaaaaakka212121()(1)2kjkkkkkj(k2≥k1)3、卷积和（1）定义1212()*()()()ifkfkfifki（2）计算：竖乘法、图解法和z变换法。有限长序列的卷积和用竖乘法；其他情况下一般用z变换法计算，但如果只计算某一个值，比如设12*fkfkfk，计算3f，用图示法。图示法可分解为四步：def1,0()0,0kkk()()(0)kfkkf()()(0)()fkkfk000()()()()fkkkfkkkdef1,0()0,0kkk0()()()ijkikj()()(1)kkk1）换元：k换为i→得f1(i)、f2(i)2）反转平移：由f2(i)反转→f2(-i)平移k→f2(k-i)3）乘积：f1(i)f2(k-i)4）求和：i从-∞到∞对乘积项求和。（3）性质a）代数律（交换律；结合律、分配律）b）f(k)*δ(k)=f(k)，f(k)*δ(k–k0)=f(k–k0)f(k)*ε(k)=()kifif1(k–k1)*f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)*f2(k)c）卷积和序列定义域的确定设1fn的定义域为：12nnn，2fn的定义域为：34nnn，那么12*fnfnfn的定义域为：1324nnnnnd)卷积结果函数元素个数的确定若11()fkk的元素个数为：，22()fkk的元素个数为：，那么12*fkfkfk的元素个数为：121kk第四章傅里叶变换和系统的频域分析1、周期信号的傅里叶级数任一满足狄里赫利条件的周期信号()ft（1T为其周期）可展开为傅里叶级数。（1）三角函数形式的傅里叶级数0111()[cos()sin()]nnnftaantbnt式中112T，n为正整数。傅里叶系数：直流分量010011()tTtaftdtT余弦分量的幅度010112()cos()tTntaftntdtT正弦分量的幅度010112()sin()tTntbftntdtT三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()nnnftaAnt（2）指数形式的傅里叶级数1()jntnnftFe式中，n为从到的整数。傅里叶系数：011011()tTjntntFftedtT（3）对称性利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算。从而可知周期信号所包含的频率成分。有些周期信号的对称性是隐藏的，删除直流分量后就可以显示其对称性。①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。()()ftft，纵轴对称（偶函数）00240()cosTtnntbaftntdtT，②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项，只可能包含正弦项。()()ftft，原点对称（奇函数）00240()sinTtnntabftntdtT，③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次谐波项。()()2Tftft，半周镜像（奇谐函数）无偶次谐波，只有奇次谐波分量()()2Tftft，半周重叠（偶谐函数）无奇次谐波，只有直流和偶次谐波2、周期信号的频谱（1）会画单边幅度谱、相位谱和双边幅度谱、相位谱（2）从对周期矩形脉冲信号的分析可知：1)信号的持续时间与频带宽度成反比;2)周期T越大，谱线越密，离散频谱将变成连续频谱；3)周期信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性。（3）周期信号的功率2222021211()()22TTnnnnaPftdtAFT3、傅里叶变换（1）定义正变换：()[()]()jtFfftftedt反变换：11()[()]()2jtftfFFed说明：频谱密度函数()F一般是复函数，可以写作()()()jFFe。其中()F是()F的模，它代表信号中个频谱分量的相对大小，是的偶函数。()是()F的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系，是的奇函数。（2）常用变换对①1tetj（α＞0）②222te③2gtSa④2sgntj⑤1t⑥12⑦1tj⑧000cost⑨000sintj⑩2()()()()TnnttnTnT4、傅里叶变换的性质1）线性1212()()()()aftbftaFjbFj2）奇偶虚实性若()()()FRjX，则①若()ft是实偶函数，则()()FR，即()F为的实偶函数；②若()ft是实奇函数，则()()FjX，即()F为的虚奇函数。3）对称性()2()Fjtf4）尺度变换1()()fatFjaa5）时移特性0-jt0()()fttFje6）频移特性0j0()[()]tfteFj7）时域卷积1212()()()()ftftFjFj频域卷积12121()()[()()]2ftftFjFj8）时域微分()()nnndfjFjdt时域积分1()()(0)()tfdFjFj其中9）频域微分()()nnnndFjtftjd频域积分1(0)()()()ftftFdjt其中1(0)()d2fFj5、帕斯瓦尔定理（能量