信号与系统第3章.

1信号与系统理学院主要内容：1、掌握LTI离散系统的响应求解（零输入和零状态）2、掌握单位序列响应和阶跃响应求解3、掌握卷积和及其性质重点和难点：均为重点，其中3难点第三章离散系统的时域分析2信号与系统理学院3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。1.差分运算tttftfttfttfttfttfttt)()(lim)()(lim)(limd)(d000离散信号的变化率有两种表示形式：kkkfkfkkf)1()()1()()1()1()()(kkkfkfkkf3信号与系统理学院（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分的线性性质：[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二阶差分定义：2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)因此，可定义：4信号与系统理学院2.差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例：若描述某系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10……一般不易得到解析形式的(闭合)解。5信号与系统理学院二、差分方程的经典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k)1.齐次解yh(k)齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0其特征方程为1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0，即λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根。当特征根λ为单根时，齐次解yn(k)形式为：Cλk当特征根λ为r重根时，齐次解yn(k)形式为：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+…+C1k+C0)λk6信号与系统理学院2.特解yp(k):特解的形式与激励的形式雷同(r≥1）。（1）激励f(k)=km(m≥0）①所有特征根均不等于1时;yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0②有r重等于1的特征根时;yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0]（2）激励f(k)=ak①当a不等于特征根时;yp(k)=Pak②当a是r重特征根时;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak（3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk)且所有特征根均不等于e±jβ；yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)7信号与系统理学院例：若描述某系统的差分方程为y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程为λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齐次解yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解为yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解为y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始条件解得C1=1,C2=–1/48信号与系统理学院三、零输入响应和零状态响应y(k)=yzi(k)+yzs(k),也可以分别用经典法求解。y(j)=yzi(j)+yzs(j),j=0,1,2,…,n–1设激励f(k)在k=0时接入系统，通常以y(–1),y(–2),…，y(–n)描述系统的初始状态。yzs(–1)=yzs(–2)=…=yzs(–n)=0(零状态)y(–1)=yzi(–1),y(–2)=yzi(–2),…，y(–n)=yzi(–n)(零输入)然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值yzi(j)和yzs(j)(j=0,1,2,…，n–1)9信号与系统理学院例：若描述某离散系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知激励f(k)=2k,k≥0，初始状态y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）yzi(k)满足方程yzi(k)+3yzi(k–1)+2yzi(k–2)=0其初始状态yzi(–1)=y(–1)=0,yzi(–2)=y(–2)=1/2首先递推求出初始值yzi(0),yzi(1),yzi(k)=–3yzi(k–1)–2yzi(k–2)yzi(0)=–3yzi(–1)–2yzi(–2)=–1,yzi(1)=–3yzi(0)–2yzi(–1)=3方程的特征根为λ1=–1，λ2=–2，其解为yzi(k)=Cx1(–1)k+Cx2(–2)k将初始值代入并解得Cx1=1,Cx2=–2所以yzi(k)=(–1)k–2(–2)k,k≥010信号与系统理学院yzs(k)+3yzs(k–1)+2yzs(k–2)=f(k)初始状态yzs(–1)=yzs(–2)=0递推求初始值yzs(0),yzs(1)，yzs(k)=–3yzs(k–1)–2yzs(k–2)+2k,k≥0yzs(0)=–3yzs(–1)–2yzs(–2)+1=1yzs(1)=–3yzs(0)–2yzs(–1)+2=–1分别求出齐次解和特解，得yzs(k)=Cf1(–1)k+Cf2(–2)k+yp(k)=Cf1(–1)k+Cf2(–2)k+(1/3)2k代入初始值求得Cf1=–1/3,Cf2=1所以yzs(k)=–(–1)k/3+(–2)k+(1/3)2k,k≥0（2）零状态响应yzs(k)满足11信号与系统理学院3.2单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应由单位序列δ(k)所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为h(k)。h(k)=T[{0},δ(k)]例1已知某系统的差分方程为y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求单位序列响应h(k)。解根据h(k)的定义有h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)（1）h(–1)=h(–2)=0（1）递推求初始值h(0)和h(1)。12信号与系统理学院h(k)=h(k–1)+2h(k–2)+δ(k)h(0)=h(–1)+2h(–2)+δ(0)=1h(1)=h(0)+2h(–1)+δ(1)=1(2)求h(k)。对于k0，h(k)满足齐次方程h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=0其特征方程为(λ+1)(λ–2)=0所以h(k)=C1(–1)k+C2(2)k，k0h(0)=C1+C2=1,h(1)=–C1+2C2=1解得C1=1/3,C2=2/3h(k)=(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k,k≥0或写为h(k)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)方程（1）移项写为13信号与系统理学院例2：若方程为：y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)–f(k–2)求单位序列响应h(k)解h(k)满足h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)–δ(k–2)令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k),它满足h1(k)–h1(k–1)–2h1(k–2)=δ(k)根据线性时不变性，h(k)=h1(k)–h1(k–2)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)–[(1/3)(–1)k–2+(2/3)(2)k–2]ε(k–2)14信号与系统理学院二、阶跃响应g(k)=T[ε(k),{0}]由于0)()()(jkjjkik，δ(k)=ε(k)–ε(k–1)=ε(k)所以0)()()(jkjjkhihkg，h(k)=g(k)11111212121akkaaaaakkkkj(k2≥k1)两个常用的求和公式：2)1)((121221kkkkjkkj15信号与系统理学院3.3卷积和一、卷积和1.序列的时域分解………012ik-1f(k)f(-1)f(0)f(1)f(2)f(i)任意离散序列f(k)可表示为f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+…+f(i)δ(k–i)+…iikif)()(16信号与系统理学院2.任意序列作用下的零状态响应LTI系统零状态yzs(k)f(k)根据h(k)的定义：δ(k)h(k)由时不变性：δ(k-i)h(k-i)f(i)δ(k-i)由齐次性：f(i)h(k-i)由叠加性：‖f(k)‖yzs(k)卷积和iikif)()(iikhif)()(izsikhifky)()()(17信号与系统理学院3.卷积和的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i为求和变量，k为参变量。结果仍为k的函数。iikfifkf)()()(21)(*)()()()(khkfikhifkyizs18信号与系统理学院例：f(k)=akε(k),h(k)=bkε(k)，求yzs(k)。解：yzs(k)=f(k)*h(k)当i0,ε(i)=0；当ik时，ε(k-i)=0iikiiikbiaikhif)()()()(bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs,)1(,11)()()(100ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)19信号与系统理学院二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：k换为i→得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转→f2(–i)右移k→f2(k–i)（3）乘积：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i从–∞到∞对乘积项求和。注意：k为参变量。下面举例说明。iikfifkf)()()(2120信号与系统理学院例：f1(k)、f2(k)如图所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？解：（1）换元（2）f2(i)反转得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5iififf)2()()2(21012k-1f1(k)1.511.521f2(k)01233-2-2-1kiiiif2(–i)f2(2–i)012i-1f1(i)f2(k-i)11.52321信号与系统理学院三、不进位乘法求卷积f(k)=所有两序列序号之和为k的那些样本乘积之和。如k=2时f(2)=…+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+…例f1(k)={0，f1(