信号与系统第七章2郑君里

1第三节离散时间系统的数学模型—差分方程•用差分方程描述线性时不变离散系统•由实际问题直接得到差分方程•由微分方程导出差分方程•由系统框图写差分方程•差分方程的特点2一．线性时不变离散系统离散时间系统)(1nx)(1ny离散时间系统)(2nx)(2ny离散时间系统)()(2211nxcnxc)()(2211nycnyc线性：均匀性、可加性均成立；3时不变性系统系统4二．由实际问题直接得到差分方程例如：y(n)表示一个国家在第n年的人口数a(常数)：出生率b(常数):死亡率设x(n)是国外移民的净增数则该国在第n+1年的人口总数为：y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n)=(a-b+1)y(n)+x(n)5三．由微分方程导出差分方程后差或前差若用后差形式6若在t=nT各点取得样值当前输出前一个输出输入n代表序号7四．由系统框图写差分方程1．基本单元加法器：乘法器：8延时器单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离散值顶出来，递补。标量乘法器系统框图9五．差分方程的特点(1)输出序列的第n个值不仅决定于同一瞬间的输入样值，而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。(2)差分方程的阶数：差分方程中变量的最高和最低序号差数为阶数。如果一个系统的第n个输出决定于刚过去的几个输出值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的。10差分方程的特点(4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写会画。(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之处。11例1:框图如图，写出差分方程解：一阶后向差分方程一阶前向差分方程12解法1.迭代法3.零输入响应+零状态响应利用卷积求系统的零状态响应2.时域经典法：齐次解+特解4.z变换法反变换y(n)第四节常系数线性差分方程的求解解差分方程的基础方法差分方程本身是一种递推关系，13二．时域经典法1.齐次解：齐次方程的解指数形式14求待定系数C由边界决定代入原方程，齐次解求差分方程齐次解步骤差分方程特征方程特征根y(n)的解析式由起始状态定常数15根据特征根，解的三种情况2.有重根如三重根r1=r2=r3=r3.有共轭复数根可视为二个不等单根162.特解线性时不变系统输入与输出有相同的形式输入输出（r与特征根重）17三．零输入响应+零状态响应1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次C由初始状态定（相当于0-的条件）齐次解：2.零状态响应：初始状态为0，即求解方法经典法：齐次解+特解卷积法18例1：由递推关系,可得输出值：19特征方程齐次解定C1,C2解出例2:求解二阶差分方程特征根20特征方程给定边界条件即可求出常数例321例4:设差分方程的特征根为P,Q为待定系数为减幅正弦序列为等幅正弦序列为增幅正弦序列讨论零输入响应情况22例5代入原方程求特解特解2324求系统的零输入响应。例625求初始状态（0-状态）题目中,是激励加上以后的,不能说明状态为0,需迭代求出。26解得零输入响应与输入无关由初始状态（0-状态）定C1，C227注意在求零输入响应时，要排除输入的影响——找出输入加上以前的初始状态。。可以求出初始值代入方程由初始状态再以01,00,0yynx