信号与系统第二章线性时不变系统的时域分析

第一章复习1.功率信号与能量信号的定义2.信号分解的错误更正例：已知信号如图，画出y(t)=df(t)/dt的波形-11221)t0,y(t)=u(t+1)2)0t2,y(t)=r(t)=u(t+1)+g(t)所以，g(t)=r(t)-1=r(t-1)2)0t2,y(t)=r(t)=u(t+1)+g(t)所以，g(t)=r(t)-1=r(t)-u(t)3)t2,y(t)=1+t-1+h(t)=0所以，h(t)=-t=-r(t)3)h(t)=-t=-r(t)u(t-2)所以，f(t)=u(t+1)+r(t)-u(t)-r(t)u(t-2)之前：f(t)=u(t+1)+r(t-1)u(t)-r(t)u(t-2)y(t)=δ(t+1)+u(t)-δ(t)-2δ(t-2)-u(t-2)(1)δ(t+1)(-1)δ(t)1(-2)-2δ(t+2)第二章线性时不变系统的时域分析1.微分差分方程的建立以及经典解法2.卷积法解微分差分方程3.卷积的性质一、微差分方程的建立以及经典解法1.连续时间系统微分方程的建立)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn连续线性时不变系统用N阶常系数微分方程描述ai、bj为常数。（1）一、微差分方程的建立以及经典解法,)(dttdiLUL1.连续时间系统微分方程的建立例题，如图所示电路图中，求系统电阻R2两端电压y(t)与输入电压f(t)的关系。LCR1R2f(t)+-y(t)+-i1(t)i2(t)解：写出LCR2f(t)以及LCR1f(t)回路的方程：U2diCUtc)(1)(')(')(1)(222''1tftiRtiCtLi(2))(1)(22tyRti12222211))(1(RdiCiRiiRUi(3)(4))()()(1)(2221tftiRdiCdttdiLt(1)1.连续时间系统微分方程的建立一、微差分方程的建立以及经典解法)(')(')(1)(222''1tftiRtiCtLi(2))(1)(22tyRti12222211))(1(RdiCiRiiRUi(3)(4)'1'')1('',1'''212121122221iCRiRRiRiCiRii(5)dttdftiCdttdiRCRLdttidRRL)()(1)()()()112(2221222整理后有：dttdftyCRdttdyCRRLdttydRRL)()(1)()1()()11(2212221得到：一、微差分方程的建立以及经典解法LCRiiitf)(dttdUCtidtiCtUdULtidttdiLtURtUiCtctLLR)()()(1)()(1)()()()(例题，如图所示电路图中，求u(t)和f(t)的时间关系Rf(t)+-iRiciLCL+-U(t))()(1)(1)()()(1)(1)(22tfdtdtULdttdURtUdtdCtUdtdCdULtURtft2.连续时间系统微分方程的求解（1）微分方程的经典法求解y(t)=yn(t)+yf(t)yn(t)：微分方程的齐次解，只与系统本身特性有关，称为系统的自然响应。yf(t)：微分方程的特解，由系统外加信号决定，称为系统的强迫响应。一、微差分方程的建立以及经典解法0011aannnntnttnekekekty2121)(2.连续时间系统微分方程的求解（1）微分方程的经典法求解1）齐次解（通解）的求解方法微分方程的特征方程如下：特征方程的解，λ1，λ2，λn称之特征根。rnrnitinirnitinetkektyi110)(A）当特征根是各不相等的实根λ1≠λ2≠‥‥≠λnB）有r个重根λ0（r≤n），n-r个单根1≠λ2≠‥‥≠λn-r一、微差分方程的建立以及经典解法rt111riiritkttcossin或2.连续时间系统微分方程的求解（1）微分方程的经典法求解2）特解求法外加信号特解常数A常数Btktksincos21111ritirietktreλtkeλt，λ不是方程的特征根kteλt，λ是方程的特征根，λ是方程的r阶特征重根一、微差分方程的建立以及经典解法例题，已知线性时不变系统方程如下：y˝(t)+6y΄(t)+8y(t)=f(t),t0.初始条件y(0)=1，y΄(0)=2，输入信号f(t)=e-tu(t),Q求系统的完全响应y(t)。解：1）求方程的齐次解特征方程为：m2+6m+8=0显然特征根为：m1=-2，m2=-4故原方程的齐次解为：yn(t)=Ae-2t+Be-4t2)求方程的特解根据输入信号的形式，其特解为yf(t)=Ce-t因此有：y(t)=yn(t)+yf(t)=Ae-2t+Be-4t+Ce-ty΄(t)=-2Ae-2t-4Be-4t-Ce-ty˝(t)=4Ae-2t+16Be-4t+Ce-t将以上结论代入原方程，得C=1/3一、微差分方程的建立以及经典解法例题，已知线性时不变系统方程如下：y˝(t)+6y΄(t)+8y(t)=f(t),t0.初始条件y(0)=1，y΄(0)=2，输入信号f(t)=e-tu(t),Q求系统的完全响应y(t)。解：3)根据初始条件求A和By΄(0)=-2A-4B-1/3=2y(0)=A+B+1/3=1解得A=5/2，B=-11/60,3161125)(42teeetyttt因此系统完全响应y(t)为：一、微差分方程的建立以及经典解法rt2.连续时间系统微分方程的求解（1）微分方程的经典法求解3）初始条件确定系统在t=0-时的状态称为初始状态系统在t=0+时的状态称为起始状态需要注意，当系统不存在跳变时y(k)(0+)=y(k)(0-)需要注意，当系统存在跳变时y(k)(0+)≠y(k)(0-)一、微差分方程的建立以及经典解法一、微差分方程的建立以及经典解法2,1,023212)(10)(3tuetxtttnekeky221例题：课本68页，2.1-3（1）1）求齐次解2）求特征解tfeky33tttekekeky33221'2'3''xyyy15,30233kk3）确定系数3)0(',2)0(yy34522152121kkkk8,2521kk)()15825(32tueeeyttt2.离散时间系统差分方程的建立离散时间系统用N阶常系数差分方程描述][][00jnfbinyajmjiniai、bj为常数。离散时间系统的描述例子，请同学们参见教材一、微差分方程的建立以及经典解法2.离散时间系统差分方程的求解0011aannn（1）差分方程的经典法求解1）齐次解（通解）的求解方法差分方程的特征方程如下：特征方程的解，λ1，λ2，λn称之特征根。krkinikirkiniinnkkty101)()()(有r个重根λ0（r≤n），k-r个单根λ1≠λ2≠‥‥≠λk-r，ki（i=1，‥‥k）一、微差分方程的建立以及经典解法1.离散时间系统差分方程的求解（1）差分方程的经典法求解2）特解方法外加信号特解nmkmnm+km-1nm-1+‥‥+k1n+k0111riniritkλnkλn，λ不是方程的特征根λ是方程的r阶特征重根(k1n+k2)λn，λ是方程的单特征根一、微差分方程的建立以及经典解法例题，求下列系统的y[k]6y[k]-5y[k-1]+y[k-2]=f[k],y[0]=0,y[1]=-1,f[k]=u[k].解：差分方程的特征方程为：6r2-5r+1=0两个实根为1/2，以及1/3，所以齐次解为：yn[k]=C1(1/2)k+C2(1/3)k由于输入为u[k]，则特解形式为yf[k]=A,k》0因此y[k]=C1(1/2)k+C2(1/3)k+A带入原差分方程有：6A-5A+A=1，所以A=1/2带入初始条件：y[0]=C1+C2+1/2=0y[1]=C1/2+C2/3+1/2=-1解得C1=-8，C2=15/20,21)31(215)21(8][kkykk一、微差分方程的建立以及经典解法二、卷积法解微差分方程1.微分方程的卷积积分求解定义：单位冲击响应，是指系统初始状态为零，仅有单位冲击信号δ(t)所产生的响应，简称冲击响应，记作h(t)。单位冲击响应的方程：)()()()()()()()(0111101111tbtdtdbtdtdbtdtdbthathdtdathdtdathdtdmmmmmmnnnnn)()()()()()()()(0111101111tbtdtdbtdtdbtdtdbthathdtdathdtdathdtdmmmmmmnnnnn)()()(1tueKthnitii（1）连续时间系统的单位冲击响应A.如果nm，Ki为待定系数，λi为特征方程的根。B.如果n≤m，nmiiiinititJtueKthi0)(1)()()()(冲击平衡法1.微分方程的卷积积分求解二、卷积法解微差分方程0),('3)(2)(6d)(dttftftytty求下列线性非时系统的冲击响应h(t)解：当f(t)=(t)时，y(t)=h(t)，即)('3)(2)(6d)(dttthtth动态方程式的特征根s=6,且n=m,故h(t)的形式为)()(e)(t6tBtuAth二、卷积法解微差分方程)('3)(2)(')()6(tttBtBA解得A=16,B=3)('3)(2)]()(e6[+])()(e[dd66tttBtuAtBtuAttt)(e16)(3)(t6tutth代入微分方程有：)(6)(e6+)(')(e)(e6666tBtuAtBtAtuAttt左边化简得：整理的：二、卷积法解微差分方程0),(2)(3d)(dttftytty求下列线性非时系统的冲击响应h(t)解：当f(t)=(t)时，y(t)=h(t)，即)(2)(3d)(dtthtth动态方程式的特征根s=3,且nm,故h(t)的形式为)(e)(3tuAtht)(2)(e3+])(e[dd33ttuAtuAttt解得A=2)(e2)(3tutht二、卷积法解微差分方程nmiiiinititJtueKthi0)(1)()()()(冲击平衡法小结：1)由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式。2)由动态方程右边(t)的最高阶导数与方程左边h(t)的最高阶导数确定(j)(t)项。二、卷积法解微差分方程