信息光学02-常用函数傅立叶变换;03-相关卷积线性系统二维光场-66

信息光学南京邮电大学光电工程学院几个常用非初等函数用途：快门;单缝,矩孔,区域限定其它标准型其它,021,1)(rect:,,021x,1)(rect00axxaxxx矩形函数（Rectanglefunction）特点:rect(0)=1,矩形宽度=1，矩形面积=1,偶函数x0ax0yx0ax0y)(rect0axx)(rect)(rect00byyaxxay0yab0x0ay0yab0x0矩形函数000sin()/sin()/xxxxacaxxaSinc函数标准型：xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0x0特点:最大值sinc(0)=1；limsinc(x)=0x曲线下面积S=1；0点位置x=n(n=1,2,3…)等间隔；偶函数Sinc函数数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数Sinc函数的重要性:二维sinc函数:sinc(x)sinc(y)三角形函数其它标准型其它原型,01,1)(tri:,,01,1)(tri:000axxaxxaxxxxxxtri(x)01-11xtri(x)01-111xa+x0-a+x0x0底宽:2最大值：tri(0)=1曲线下面积:S=1底宽:2|a|,面积:S=|a|又写成：L(x)南京邮电大学光电工程学院赵新彦10sgn()0010xxxx符号函数（Signum）x01Sgn(x)-1用途：代表“”相移器、反相器10()12000xstepxxx阶跃函数（StepFunction）x01Step(x)用途：开关；无穷大半平面屏与符号函数关系:Sgn(x)=2Step(x)-122221010xyxyacircaracircra其它ra圆柱（域）函数（CircularFunction）1xy01xy0特点：circ函数是不可分离变量的二元函数用途：描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率a0a000,0(,)0,0xyxyxyδ函数1)(dxx)0()()(fdxxxfδ函数----性质筛选性质)()()(00xfdxxxxf函数是偶函数)()(xx比例变换性质1()()axxa梳状函数（CombFunction）傅里叶（1768-1830）9岁父母双亡，被教堂收养。12岁由主教送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学。26岁到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。30岁随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，33岁回国后任伊泽尔省地方长官。51岁当选为科学院院士，54岁任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。1822年－《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题1807年－《热的传播》推导出热传导方程，提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。法国数学家、物理学家在你的理解中，一段音乐是什么呢？频域时域：频域：傅里叶级数傅里叶级数011()(cossin)2nnnfxaanxbnx周期为的函数可以展开为三角级数由正弦和余弦函数线性组合成的无穷级数1()ft002()cos2,2()sin2nnaftntdtbftntdt理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。指数傅里叶级数2()jntnnftFe201(),0,1,2,jntnFftedtn1.傅里叶变换,(,)exp2()Ffxyjxydxdy,(,)exp2()fxyFjxydd正变换逆变换傅里叶变换把非周期函数分解为复指数函数在整个连续频率区间上的积分和200(,)(,)exp[2cos()]Grgrjrdrd200(,)(,)exp[2cos()]grGjrdd极坐标下的傅里叶变换002()(2)GrgrJrdr00()2()(2)grGJrd——正变换——逆变换傅里叶-贝塞耳变换傅里叶变换广义傅里叶变换周期函数：1.只有有限个极值点和间断点，2.绝对可积非周期函数：延拓为周期函数，光学中不少有用的函数，如：脉冲函数、阶跃函数等，不能满足以上条件，因此必须把以上傅里叶变换定义推广，才能求出其傅氏变换式函数不存在狭义傅里叶变换，但有：()fx广义傅里叶变换极限意义下的傅里叶变换和δ函数的傅里叶变换（1）极限意义下的傅里叶变换()lim()nnfxfx且：()()nnFfx则：()lim()nnfxfx（2）δ函数的傅里叶变换广义傅里叶变换根据δ函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换2()()1jxxxedx21()jxedxx1t0)(F1)(tf10t2)(200广义傅里叶变换（2）广义傅里叶变换举例阶跃函数：1()1sgn()2stepxx1()1sgn()21()2stepxxj)(Fu(t)0t0广义傅里叶变换（2）广义傅里叶变换举例梳状函数：()exp(2)nnxcombaxnaajnxa()xcombacombaa特例：exp(2)ncombxjnx()combxcomb原函数频谱函数缝函数二维矩形函数高斯函数函数(x)1常数1圆函数)(21)(21)(00fffff)af(asinc)(sinc)(sincxxbfafab1022circ)ayx(222212yxyxff)ffa(aJ)(exp)(2axxg傅里叶变换对傅里叶变换的意义数学意义:从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射；f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F(ω)称为象函数。应用意义:把任意函数分解为简单周期函数之和，F(ω)的自变量为频率，函数值为对应的振幅。物理意义：把一般运动分解为简谐运动的叠加；把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。傅里叶变换的意义时阈信号：将信号从时间角度的分割和叠加。傅里叶变换：将信号从频率的角度叠加。傅里叶变换的意义傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何所需要的信号。傅里叶变换简单理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成。傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。例如：减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。在光学信息处理中，光学系统所传递和处理的信息是随空间变化的函数。一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种分布的特征可用空间频率表明。把图像看作是由各种方向、各种间距的线条组成。傅里叶变换与光学例：振幅型透射光栅的傅里叶级数展开光栅常数：2db透射率：()Tx--空间周期为d的函数--空间位置x有确定的函数关系傅里叶变换与光学)(xT2,1,0,2/)12(1mdmxmd{0其他展开为傅里叶级数)5sin(52)3sin(32)sin(221)(000xxxxT空间频率：单位长度内变化的次数。dv/12/00d/20傅里叶变换与光学表示一个周期为d的黑白光栅可看成由频率及许多正弦光栅（强度按正弦分布）组成。01/d003,5sin22sin0ddkfxvsin2令0/k以一束单色平行光照射光栅，在其后的透镜焦平面上得到的光强分布与该光栅本身的透射函数的傅里叶功率谱相同。在焦面上的亮点代表直流成分，每一对亮点代表光栅的一个空间频率。xvf傅里叶变换与光学卷积rect(x)*rect(x)-101g(x)x11.画出二个rect()2.将rect()折叠后不变;3.将一个rect(-)移位至给定的x,rect[-(-x)]=rect(-x);4.二者相乘;乘积曲线下面积的值即为g(x).rect()1-1/201/2rect()1-1/201/2x-1/2xx+1/2rect()1-1/201/2()()()()fxhxfhxd翻转、平移、相乘、积分平滑：被积函数经过卷积运算，其微细结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏变得平缓圆滑。卷积效应展宽：一般来说，卷积的宽度等于被卷积函数的宽度之和。1.交换律2.分配律3.结合律xfxhxhxf*)(*xhxwxhxvxhxwxv**)(*xhxwxvxhxwxv**)(**卷积运算定律即任意函数与δ函数卷积后不变)()()()()(xfdxfxxf由1.δ-函数是偶函数,2.δ-函数的筛选性质,有:任意函数与脉冲函数卷积的结果,是将该函数平移到脉冲所在的位置f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.包含δ函数的卷积----函数的移位00()()()fxxxfxx=*bbbaabaaaa包含δ函数的卷积*=ldxyt(x,y)2/circ22lyx(x+d/2)+(x-d/2)]=*x0dlxyy相关运算（correlation）1.互相关crosscorrelationdxgfxgxfxrfg)()(*)()()(★()*()()()*()fgrxfxgdgxfx与卷积的关系：1.当且仅当f*(-x)=f(x)，相关才和卷积相同。一般情况下,相关运算与卷积运算的区别:f(x)要取复共轭；运算时f(x)不需折叠2.互相关不满足交换律dxffxfxfxrff)(*)()()()(★相关运算（correlation）2.自相关auto-correlation互相关在两函数有相似性时出现峰值，自相关则在位移到重叠时出现极大值自相关与互相关的比较互相关自相关2020/1/7线性系统分析－线性平移不变系统LinearShift-InvariantSystem(,)(,)fxygxy(,;,)(;)hxyhxy输入和输出的变换关系不随空间位置而变化H仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标在x和y方向的相对间距和，与坐标本身的绝对数值无关。()x()y(,)(,)(,)(,)(,)gxyfhxyddfxyhxy叠加积分0000(,)(,)fxxyygxxyy2020/1/7则此线性系统称为时不变系统.系统的性质不随所考察的时间而变,是稳定的系统。时间轴平移了,响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性.t0(t-)t0(t)例：时不变(一维)系统:RC电路th(t)