信息论第5讲平均互信息的凸性(含习题)

平均互信息的凸性第5讲平均互信息–定义及含义–信息/数据处理定理Review)()()()|()()|()();(XYHYHXHXYHYHYXHXHYXI);();();();(VUIYXIZXIYXI–凸性–性质：对称性、非负性、极值性凸集若集合nRC（n维欧氏空间），有CqCp,且对任意实数有(1),pqC显然，n维欧氏空间为一凸集合。0≤λ≤1则称为C为凸集合。概率矢量构成集合为凸集定义若一个K维矢量=(1,2,…,K)的所有分量为非负的，且和为1，即就称为概率矢量。引理概率矢量全体所构成的区域R是凸的。证：若,β∈R，对0≤≤1构造矢量=＋(1-)βKkakkk,2,10)1(因此是概率矢量，仍属于R，所以R是凸的。KkKkkkKkka1111)1(凸函数定义定义在凸集R上的一个实函数f，若它对所有α,β∈R和0≤≤1满足f()+(1－)f(β)≤f(＋(1－)β)就称函数f为R上的凸∩函数。若式中不等号的方向相反，就称f为凸∪函数。若等号仅当=0或1时成立，就称f为严格凸∩或严格凸∪的。)()1()(])1([qfpfqpfapqbqp)1(p在[a,b]上定义的上凸函数])1([)()1()(qpfqfpfapqbqp)1(p在[a,b]上定义的下凸函数凸函数性质1)若f()是凸∩的，则-f()是凸∪的，反过来也成立。2)若f1(),f2(),…,fL()是R上的凸∩函数，c1,c2,cL是正数，则为R上的凸∩函数，若其中任一个是严格凸的，则和式也是严格凸的。Llllfc1)(3)(Jensen不等式)若f()是R上的凸∩函数，则E[f()]≤f(E())Jensen不等式:若f()是R上的凸∩函数，则E[f()]≤f(E())其中，E表示数学期望。证明：只对离散情况证明。对于离散变量，令，则E[f()]≤f(E())可写成可用归纳法进行证明。对两点分布，根据凸函数的定义有假设当分布点个数为n时不等式成立，考察分布点个数为n+1时的情况。Llllpp11,011221()()LLLlllfppppfαααα1212((1))()(1)()fffαααα对，令则有证毕111,0niiippniip11111111111111111()()()()()()1()nnnnnnnnniinniniinniniiipfpfpfppffpffppffppfpααααααααααα定理:如果函数f(x)在某个区间上存在非负(正)的二阶导数，则f(x)为该区间上的凸∪函数(严格凸∪函数)。证明：利用函数f(x)在x0点的泰勒级数展开:其中x*位于x0和x之间。根据假设，因此，对任意的x，最后一项总是非负。设取，可得类似地，取，可得20000''(*)()()'()()()2fxfxfxfxxxxx''(*)0fx012(1)xxx1xx10012()()(1)'()()fxfxfxxx2xx20021()()'()()fxfxfxxx因此，得证毕同理可证：如果函数f(x)在某个区间上存在的二阶导数≤0（0)，则f(x)为该区间上的上的凸∩函数(严格凸∩函数)。1200120021012()(1)()()(1)'()()(1)()'()()()((1))fxfxfxfxxxfxfxxxfxfxx利用该定理，可以立即判定：都是严格凸∪函数，为严格凸∩函数。2,,log(0)xxexxxlog,(0)xxx令是定义在R上的凸∩函数，其中=(1,2,…,K)存在且在R域上连续，在R上为极大的充分必要条件是凸函数性质Kuhn-Tucker条件()fα为一概率矢量。假定偏导数()kfaα对所有’k0对所有’k=0)('f')(kf')(kf其中为一常数。证：首先证明充分性。设函数f在点满足KT条件，今证明为极大值，即对任意，恒有。由于f是凸∩函数，所以f()＋(1－)f()≤f[＋(1－)]0＜＜1即f()－f()≤{f[＋(1－)]－f()}/0＜＜1Rβ()()0ffβα()fα1211122212111222122212221()(,,,)((1))()((),(),,())(,,,)((),(),,())(,(),,())(,(),,())(KKKKKKKKKKKKKKffffffffff21212112,,,())(,,,())(,,,,())(,,,)KKKKKKkKKKKfff0((1))()()()lim()()kkkkfffffα因上式对任意(0＜＜1)成立，可令→0，得由KT条件有将其代入上式得从而证明为极大值。现在证明必要性。令使f达到极大值，并假定偏导数在处连续。则对任意,有式中0＜＜1。以θ除两边并令θ→0得)()()(kkkkkfα0)()(11KkKkkkffαβ()fαRααRβ0)(])1([ααβff0])1([0ddfαβ即因为是概率矢量，所以至少有一个分量，例如i是严格正的，即i0。选择另一概率矢量满足式中。于是有对于也可选负值和正数，有和kikkkkf0)()(ααilkllilkl其它值()()0kiffαα0,k1()()0kffαα1()()0kffαα即()()kiffαα对，因为概率矢量的关系，只能选择，由此得0k0()()kiffαα证毕熵的凸性证明：),,,(112111KpppP),,,(222212KpppP10)()1()())1((2121PHPHPPH令则KiiiiiPpPpPPH1212121))1(log())1(())1((KiiiiKiiiiPpPPpp12121211))1(log()1())1(log(1)1(121KiiiPp由于KiiiKiiippppPPH12211121log1log))1(()()1()(21PHPH当且仅当时等号成立21PP平均互信息量凸性由互信息的定义式：可知，它是输入分布及转移概率分布的函数。可以记为：如果转移概率分布固定，I(X,Y)就是先验概率Q(X)的函数；如果信源先验概率固定，I(X,Y)就是转移概率P(Y/X)的函数。()qx(/)pyx(;)((),(/))IXYfQxPyxxyyxypxypxqYXI)()(log)()()(；[例]设二元对称信道(BSC)的信源空间为：X={0,1};[Q(X)]={ω,1-ω};01-p0pp11-p1因为已知转移概率，所以利用公式I(X,Y)=H(Y)-H(Y/X)。H(Y/X)=-∑∑q(xi)p(yj/xi)logp(yj/xi)=∑q(xi){-[plogp+(1-p)log(1-p)]}=H(p)其中：H(p)=-[plogp+(1-p)log(1-p)]另外：为了求H(Y)，利用w(yj)=∑q(xi)p(yj/xi)；可得：w(y=0)=ω(1-p)+(1-ω)pw(y=1)=ωp+(1-ω)(1-p)所以：H(Y)=-{[ω(1-p)+(1-ω)p]log[ω(1-p)+(1-ω)p]+[ωp+(1-ω)(1-p)]log[ωp+(1-ω)(1-p)]}=H(ω(1-p)+(1-ω)p)可得平均互信息量为：I(X,Y)=H(ω(1-p)+(1-ω)p)-H(p)当固定信源先验概率分布ω时，I(X,Y)是信道转移概率p的下凸函数，如图所示。01/21p从图中可知，当信源固定后，存在一种BSC信道，p=(1-p)=1/2，使在信道输出端获得信息量最小，即等于0。也就是说，信源的信息全部损失在信道中了。这是最差的信道，这个性质说明，每个信源都存在一种最差的信道，此信道的干扰最大。I(X,Y)H(ω)根据这个关系，当p值一定，即固定信道，可知I(X,Y)是ω的上凸函数，其曲线如图：I(X,Y)1-H(p)01/21ω从图中可知，当BSC信道的信道矩阵固定后，若输入符号集X的概率分布不同，在接收端平均每个符号获得的信息量就不同。只有当输入为等概分布时即，p(0)=p(1)=1/2时，接收端的信息量才为最大值1-H(p)。定理2.5.2当条件分布p(y/x)给定时，平均互信息I(X;Y)是输入分布q(x)的凸∩函数。证明：令q1和q2是输入集X上的任意两个概率矢量，相应的互信息为I1和I2，令θ满足0θ1，q=θq1＋(1－θ)q2是合成概率矢量，此时输入X和输出Y之间的互信息为I。今需要证明:.令p1(xy)=q1(x)p(y/x),p2(xy)=q2(x)p(y/x),有p(xy)=q(x)p(y/x)=θp1(xy)＋(1－θ)p2(xy)1122()(),()()xxwypxywypxyIII21)1(12()()()(1)()xwypxywywy根据平均互信息的定义，得因为logx是严格凸∩函数，所以证毕121212121212()()(1)()log(1)()log()()()(()(1)())log()()()()log(1)()log()()xyxyxyxyxypyxpyxIIIpxypxywywypyxpxypxywywywypxypxywywy12121212121212()()(1)()log(1)()log()()()()log(())(1)log(())()()()()log(())(1)log(())()()0xyxyxyxyyxyxwywyIIIpxypxywywywywypxypxywywywywypxypxywywy•当信道一定时，平均互信息是信源先验概率的上凸函数1)对于一定的信道转移概率分布，总可以找到一个先验概率分布为P的信源X，使平均互信息达到相应的最大值Imax，这时称这个信源为该信道的匹配信源。2)不同的信道转移概率对应不同的Imax，或者说Imax是P(Y/X)的函数。平均互信息的凸性定理2.5.3当集X的概率分布保持不变时，平均互信息量是条件概率分布p(y/x)的凸∪函数。证明：令p1和p2是两个任意条件概率分布，相应的平均互信息为I1和I2，令θ满足0θ1,p=θp1＋(1－θ)p2是合成条件概率分布，此时输入X和输出Y之间的互信息为I。今需要证明.令根据平均互信息的定义，得12(1)III1111122222()()(/),(/)()(/)/()()()(/),(/)()(/)/()()()(/),(/)()(/)/()xxxwyqxpyxpxyqxp