倒立摆实验报告(现代控制理论)

现代控制理论实验报告——倒立摆小组成员：指导老师：2013.5实验一建立一级倒立摆的数学模型一、实验目的学习建立一级倒立摆系统的数学模型，并进行Matlab仿真。二、实验内容写出系统传递函数和状态空间方程，用Matlab进行仿真。三、Matlab源程序及程序运行的结果（1）Matlab源程序见附页（2）给出系统的传递函数和状态方程（a）传递函数gs为摆杆的角度：gsTransferfunction:2.054s-----------------------------------s^3+0.07391s^2-29.23s-2.013（b）传递函数gspo为小车的位移传递函数：gspoTransferfunction:0.7391s^2-20.13---------------------------------------s^4+0.07391s^3-29.23s^2-2.013s（c）状态矩阵A,B,C,D：sysa=x1x2x3x4x10100x20-0.073910.71750x30001x40-0.205429.230b=u1x10x20.7391x30x42.054c=x1x2x3x4y11000y20010d=u1y10y20Continuous-timemodel.（3）给出传递函数极点和系统状态矩阵A的特征值（a）传递函数gs的极点PP=5.4042-5.4093-0.0689（b）传递函数gspo的极点PoPo=05.4042-5.4093-0.0689（c）状态矩阵A的特征值EE=0-0.06895.4042-5.4093（4）给出系统开环脉冲响应和阶跃响应的曲线（a）开环脉冲响应曲线（b）阶跃响应曲线四、思考题（1）由状态空间方程转化为传递函数，是否与直接计算传递函数相等？答：由状态空间方程转化为传递函数：gso=tf(sys)Transferfunctionfrominputtooutput...0.7391s^2-6.565e-016s-20.13#1:---------------------------------------s^4+0.07391s^3-29.23s^2-2.013s2.054s+4.587e-016#2:-----------------------------------s^3+0.07391s^2-29.23s-2.013#1为gspo传递函数，#2为gs的传递函数而直接得到的传递函数为：gspoTransferfunction:0.7391s^2-20.13---------------------------------------s^4+0.07391s^3-29.23s^2-2.013sgsTransferfunction:2.054s-----------------------------------s^3+0.07391s^2-29.23s-2.013通过比较可以看到，gspo由状态空间方程转化的传递函数比直接得到的传递函数多了s的一次项，而6.565e-016非常小几乎可以忽略不计，因此可以认为两种方法得到的传递函数式相同的，同理传递函数gs也可以认为是相同的。（2）通过仿真表明开环系统是否稳定？请通过极点(特征值)理论来分析。答：开环系统不稳定极点为：PP=5.4042-5.4093-0.0689PoPo=05.4042-5.4093-0.0689由系统稳定性结论可知，极点若都分布在s平面的左半平面则系统稳定，而开环系统的极点有5.4042在右半平面。因此，开环系统不稳定。（3）传递函数的极点和状态方程的特征值的个数、大小是否相等？如果不相等，请解释其原因。传递函数gspo的极点和状态方程的特征值的个数、大小相等。但是传递函数gs的极点和状态方程的特征值个数不相等。因为存在零极点对消。附录：（matlab程序）clearall;f1=0.001;%实际系统参数M=1.32;m=0.132;b=0.1;l=0.27;I=0.0032;g=9.8;T=0.02;%求传递函数gs(输出为摆杆角度)和gspo(输出为小车位置)q=(M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;num=[m*l/q0];den=[1b*(I+m*l^2)/q-(M+m)*m*g*l/q-b*m*g*l/q];gs=tf(num,den);numpo=[(I+m*l^2)/q0-m*g*l/q];denpo=[1b*(I+m*l^2)/q-(M+m)*m*g*l/q-b*m*g*l/q0];gspo=tf(numpo,denpo);%求状态空间sys(A,B,C,D)p=I*(M+m)+M*m*l^2;A=[0100;0-(I+m*l^2)*b/pm^2*g*l^2/p0;0001;0-m*b*l/pm*g*l*(M+m)/p0];B=[0;(I+m*l^2)/p;0;m*l/p];C=[1000;0010];D=[0;0];sys=ss(A,B,C,D);%通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应t=0:T:5;y1=impulse(gs,t);y2=impulse(gspo,t);figure(1);plot(t,y2,'b',t,y1,'r');xlabel('t/s');ylabel('Position/morAngle/rad');axis([02080]);legend('CarPosition','PendulumAngle');%将状态空间方程sys转化为传递函数gs0gs0=tf(sys);%通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应t=0:T:5;y=impulse(sys,t);figure(2);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');xlabel('t/s');ylabel('Position/morAngle/rad');axis([02080]);legend('CarPosition','PendulumAngle');%通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环阶越响应t=0:T:5;y1=step(gs,t);y2=step(gspo,t);figure(3);plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([02.5080]);xlabel('t/s');ylabel('Position/morAngle/rad');legend('CarPosition','PendulumAngle');%通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环阶越响应t=0:T:5;y=step(sys,t);figure(4);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');xlabel('t/s');ylabel('Position/morAngle/rad');axis([02.5080]);legend('CarPosition','PendulumAngle');%求传递函数极点P=pole(gs);Po=pole(gspo);%求A的特征值E=eig(A);实验二倒立摆系统控制算法的状态空间法设计一、实验目的学习如何使用状态空间法设计系统的控制算法。二、实验内容用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：(1)杆角度µ和小车位移x的稳定时间小于5秒(2)x的上升时间小于2秒2(3)µ的超调量小于20度（0.35弧度）(4)稳态误差小于4%.三、Matlab源程序及程序执行结果（1）Matlab源程序（见附录）（2）程序执行结果（a）k的值KK=-14.1421-12.157063.583711.8416（b）反馈后的响应曲线（3）给出无扰动时两次不同K值下，小车的稳定位置P1和摆杆的稳定角度Pend1；（a）KK=-14.142-12.15763.58411.842小车的稳定位置P1=-0.02绿色的曲线为摆杆的稳定角度Pend1=0.001度(b)KK=-14.1421-12.157063.583711.8416小车的稳定位置P1=-0.007绿色的曲线为摆杆的稳定角度Pend1=0.0015度（4）给出两次不同K值下，实际系统的响应曲线，并计算实验要求中的四项响应指标，并注意要利用实验三中统计出的响应时间延迟修正响应曲线。①K=-14.1421-12.146763.582511.841300=(0.11-0.0825)/0.0925=29.7%tp=(4100-3880)/1000*8.8=1.936str=(4030-3880)/1000*8.8=1.32sts=(4800-3880)/1000*8.8=8.096s②K=-14.1421-12.157063.583711.841600=(0.11-0.085)/0.092=27.17%tp=(3025-2840)/1000*8.8=1.628str=(2955-2840)/1000*8.8=1.012sts=(4800-3900)/1000*8.8=7.92s四、思考题(1)计算Ac的特征值。①K=-14.1421-12.146763.582511.8413②K=-14.1421-12.157063.583711.8416(2)通过仿真分析Q11和Q33的大小对控制效果的影响(Q11为Q阵的第(1;1)个元素)：•固定Q33，改变Q11Q33=100Q11=100（红）、500（蓝）、1000（绿）从图中可以看出Q11增大,角度超调随着增大,位置的超调基本不变,但是响应时间缩短了。•固定Q11，改变Q33Q11=100Q33=100（红）、1000（蓝）、2000（绿）从图中可以看出Q33增大,角度超调减小,位置的超调基本不变,但是响应时间延长了。附录：（matlab程序）clearall;f1=0.001;%实际系统参数%M=1.096;%m=0.109;%b=0.25;%l=0.25;%I=0.0034;%g=9.8;%T=0.001;%求系统状态空间参数M=1.32;m=0.132;b=0.22;l=0.27;I=0.0032;g=9.8;T=0.02;p=I*(M+m)+M*m*l^2;A=[0100;0-(I+m*l^2)*b/pm^2*g*l^2/p0;0001;0-m*b*l/pm*g*l*(M+m)/p0];B=[0;(I+m*l^2)/p;0;m*l/p];C=[1000;0010];D=0;%求反馈向量KR=1;Q1=200;Q2=0;Q3=100;Q=[Q1000;0Q200;00Q30;0000];K=lqr(A,B,Q,R);%求状态反馈后的系统sysstateAc=A-B*K;Bc=B*K(1);%输入变换使输入与反馈的量纲匹配sysstate=ss(Ac,Bc,C,D);%对lqr控制系统进行仿真t=0:T:5;U=0.2*ones(size(t));y=lsim(sysstate,U,t);figure(1);holdon;plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');boxon;xlabel('t/s');ylabel('Position/morAngle/rad');legend('CarPosition','PendulumAngle');实验三研究倒立摆系统对信号的跟踪一、实验目的观察倒立摆对于不同输入信号的跟踪情况，加深对状态空间和状态反馈的理解。二、实验内容在平衡位置，分别设定下列三种信号，记录倒立摆的运动情况：(1)方波信号：频率0.2Hz，幅值0.05m(2)正弦波信号：频率0.2Hz，幅值0.05m(3)锯齿波信号：频率0.2Hz，幅值0.05m三、Matlab源程序及程序执行结果(1)Matlab源程序（见附录）(2)Matlab仿真图形（三种扰动下的响应曲线）A阶跃信号下的响应曲线B方波信号下的响应曲线C正弦信号下的响应曲线（3）实际系统的响应曲线当Q1