偏微分-第一章

偏微分方程的数值计算02:012主要内容偏微分方程差分方法计算偏微分方程差分格式的稳定性、收敛性几种特殊的非线性问题数值求解02:013课程说明授课形式上课：8次课上机：8次上机时间地点第3-18周周五下午5-6节单周北613双周北一机房02:014定义:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.;2)1(xdxdy;0(2)ydxxdy;0)3(322xdtdxtxdtxd;sin35)4(2244txdtxddtxd;)5(zyzxz.0)6(2222uzyxyuxu例：下列关系式都是微分方程常微分方程与偏微分方程02:015如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.;2)1(xdxdy;0(2)ydxxdy;0)3(322xdtdxtxdtxd;sin35)4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程如02:016如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.;)5(zyzxz.0)6(2222uzyxyuxu2.偏微分方程如都是偏微分方程.02:01709年国家最高科技奖：谷超豪、孙家栋02:018首届国家最高科技奖：吴文俊、袁隆平02:019(1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如其中(,,)uxy是未知多元函数；,,xy是未知变量；,,uuxy为u的偏导数.有时为了书写方便，通常记22222(,,,,,,,,,,)0uuuuuFxyuxyxyxy基本概念22,,,,xyxxuuuuuuxyx02:0110基本概念(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．Laplace算子：22221nxx02:0111(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程．(5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．(6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．基本概念02:0112二阶线性非齐次偏微分方程2xyuyx的通解为221(,)()()2uxyxyxyFxGy其中(),()FxGy是两个独立的任意函数。因为方程为二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数(),()FxGy指定为特殊的4()25,()2sinFxxGyy，则得到的解称为方程的特解。方程的通解和特解02:0113在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点．我们在解析几何中知道对于二次实曲线220axbxycydxeyf其中,,,,,abcdef为常数，且设24bac偏微分方程的分类02:0114则当0,0,0时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对偏微分方程进行分类.下面主要二阶线性偏微分方程为例，进行举例说明．偏微分方程的分类2,1()()()()mmijiijiijiuuaxbxcxufxxxx二阶线性偏微分方程的一般形式02:0115偏微分方程的分类2,1()()()()mmijiijiijiuuaxbxcxufxxxx矩阵A=是一个的对称阵，如果在点A是正定或是负定的（其特征值全同号），称为椭圆型方程；如果A的特征值至少有一个为零时，方程成为抛物型方程；如果A的特征值皆非零且有n-1个同号，方程称为双曲型方程；),,,(1nxx][ijann02:0116偏微分方程222(,,,)uaufxyztt波动方程双曲型2(,,,)uaufxyztt热传导方程抛物型2(,,)aufxyz位势方程椭圆型02:011702:011802:011902:012002:0121定解问题一个偏微分方程通常有无穷多个解方程的解必须要满足的事先给定的条件叫做定解条件一个方程配备上定解条件就构成一个定解问题常见的定解条件有初始条件(也叫Cauchy条件)和边界条件两大类,相应的定解问题叫初值问题(或Cauchy问题)和边值问题02:0122例子Poisson方程的一种定解问题是边值问题xxguxxfu),(),(02:0123一维扩散方程的一种定解问题是初边值问题例子222(),0,0(0,)(),(,)(),0;(,0)(),0uuafxxLttxuttuLtttuxgxxL02:0124方程的解初值问题或边值问题的解或称古典解是指这样的函数:它在区域的内部具有方程中出现的一切连续偏导数,而本身在区域的闭包上连续(有时根据具体问题的性质或边界条件的类型,也要求有关的偏导数连续到边界),它满足方程,并且当时间变量趋于初始时刻或空间变量趋于区域的边界时它(有时及其有关的偏导数)连续地取到给定的初始值或边界值02:0125存在性存在一个足够光滑的函数，使其满足方程和定解条件唯一性定解问题在给定的函数类中最多有一个解稳定性当定解条件变化很小时，解的变化也很小，即解连续地依赖定解条件定解问题的适定性