偏振光的矩阵3

1偏振光的矩阵陈泽（西华师范大学物电学院）摘要：偏振是物理光学中的一个重要部分。近年来，科学实验研究中已经广泛应用了光的偏振特性。而琼斯（Jones）矩阵的提出和发展迄今已历半个多世纪之久，其形式的简明有目共睹。本文将利用琼斯(Jones)矩阵来描述偏振。引言：我们知道，波的振动方向和波的传播方向相同的波称为纵波；波的振动方向和波的传播方向相互垂直的波称为横波，在纵波的情况下，通过波的传播方向的所有平面内的运动情况都相同，其中没有一个平面显示出比其他任何平面特殊，这通常称为波的振动对传播方向具有对称性。对横波来说，通过波的传播方向且包含振动矢量的那个平面显然和其他不包含振动矢量的任何平面有区别，这通常称为波的振动方向对传播方向没有对称性，波的振动方向对于传播方向的不对称性叫做偏振，它是横波区别于纵波的一个最明显的标志，只有横波才有偏振现象。光波是电磁波，光波的传播方向就是电磁波的传播方向，光波中的电矢量E和磁矢量H都与传播速度垂直，因此光波是横波，它具有偏振性。1、光波的偏振态平面电磁波是横波，电场和磁场彼此正交，因此当光沿Z方向传输时，电场只有x、y方向的分量，平面波取如下形式：)cos(00EutEE（1）式中，写成分量形式为：0)cos()cos(21EoyoxEEEyEEx（2）为了求得电场矢量的端点所描绘的曲线，把上式中参变量Z消去可得：2022sincos2)1(2)1(oyyxoyxEEEEEEEox（3）偏振情况一般分为两种，一种是电矢量E的方向永远保护不变，即是线偏振；另一种是电矢量E端点轨迹为一圆，即圆偏振。这两种情况都是椭圆偏振2的特例：由式（3），当)2,1,0(12mm时，椭圆就退化的一条直线。xoymEEExEy0)1((（4）这时电矢量E称为线偏振（亦称平面偏振）当Ex.Ey两分量的振幅相等，且其相位差为2/的奇数倍，即ooyoxEEE)5,3,1(2/12mm，则试（3）椭圆退化为圆：2022EEEyx（6）则称电矢量是圆偏振。上述结果可用复数表示：iboxoyxyeEEEE（7）有2,1,0,mm时为线偏振光oxoymxyEEEE)1(（8）oyoxEEmm2,1,0,22时为右旋圆偏振光ieEEixy（9）oyoxEEmm2,1,0,22时为左旋圆偏振光。ieEEixy（10）除试（8），试（9），试（10）其余情况为椭圆偏振光。2、波片波片是除了线偏器之外的又一种要偏振元件，其基本功能是，在已知的两个正交偏振方向上，为入射的偏振光引入特定的附加位相差。实际的波片大多是一块光轴平行于表面的单轴晶体薄板。近年来人们还开发了由有机材料做成的波片，这里以前一情况为例进行讨论。正入射到波片表面的3偏振光，进入波片后将分解成对应着不同折射率的寻常光和异常光。它们在波片内传播相同的距离（等于波片的厚度）后将发生不同的位相延迟，从而在射出波片时便获得了附加位相差。具体地说，如波片材料的寻常和异常折射率分别为on和en波片厚度为d，则寻常光（振动方垂直于光轴的线偏光）和异常光（振动方向平行于光轴的线偏线）在波片内经历的光程分别为：eeoodnLdnL,（11）两者的光程差L为：)(oeoenndLLL（12）引入的附加位相差为：)(2)(0oeoeoonndnndkLk（13）式中0k为光波的真空波矢值，0为真空波长。由于光波位相的2周期性，通常可以通过加减的2整数（包括零）倍把式（13）算得到的“移”至到的范围内。如果on和en的色散可以忽略，则L与波长无关，但却因其中含有项而有明显的色散，其色散值：oennddd0202（14）因此，当人们说某波片引入的位相差为2时，必须同时指明这是对哪一个波长而言的。常用的单块波片有四分之一波片(简称为4片)、半波波片（简称为2片），它们的L和为：4波片：041)12()(NnndLoe2)12(N2波片：021)12()(NnndLoe)12(N43：偏振光的矩阵表示：一定频率的任意偏振光都可以用分量表示。当波沿E方向传播时，其复数形式为：](exp[)](exp[yoyoxoxowtkejEEywtkejEEx（15）试（15）用一个矩阵来表示：)exp()exp(](exp[00oyoxyxjyExjEwtkEjEEE（16）在计算同频波的叠加或分解，公共位相项可以当作常系数，不必参与运算。此时偏振波电场可以用下述矩阵表示：)exp()exp(~ooooyjEyxjExE（17）试（17）为偏振波的琼斯（Jones）表示法，这个列矩阵叫做琼斯矢量或琼斯列矩阵。由：)exp()exp(ooooyjEyxjExxEyEExyoom)(线偏波的琼斯矢量形式是：sincos)exp(jEO（18）iExEy右旋圆偏振波的琼斯矩阵是：0000004)4exp()24(exp0exp(jExjxjEyjExo（19）iExEy左旋圆偏振波的琼斯矩阵形式是：5000000)exp()2(exp)exp(jEyExjjEyjEx（20）椭圆偏振波的琼斯列矩阵形式为：)exp()exp(000yoxjEyjExαααα（21）4：晶体对偏振光作用矩阵表示——琼斯矩阵设晶片的两个主方向分别为u轴和N轴，对沿V轴的振动分量各引入一个位相4。设偏振光的琼斯矢量在oxy坐标中表示，u轴和x轴之间的夹角为。V=0，则入射偏振光22yxEE通过晶片后成为22yxEE=)exp()exp(11jjEEyx（22）可得出：)exp(cossincossin1)exp(sincos2212jEyjEEXX)exp(cossin1)exp(cossincossin2212jEyjEEXy用矩阵来表达上式：22yxEE=11)exp(cossin)exp(1cossin)exp(1cossin)exp(sincos2222EyExjjjj（23）该矩阵称为琼斯（Jones）矩阵)exp(cossin)exp(1cossin)exp(1cossin)exp(sincos2222jjjjM（24）xuy6计算振光通过一个或几个偏振元件后的偏振态偏振光EyEx通过一个偏振元件后，其偏振态变为''EyEx，''EyEx与EyEx的关系可以用一个2×2的矩阵来表示：''EyEx=22211211JJJJEyEx=JEyEx（25）若偏振光EyEx依次通过几个偏振元件，它们的琼斯矩阵分别为),2,1(niJi，则从第几个偏振元件出射的光的琼斯矢量显然为''EyEx=121JJJJnEyEx（26）5讨论：设有一束自然光通过起偏器后变为线偏振光，并沿Z方向传播，u轴与x轴夹角为，其偏振方向平行x轴，垂直入射到线偏振器表面上，根据琼斯矩阵：cossincos][2pM2sincossin（27）则偏振光11EyEx通过起偏器，出来的偏振光22yxEE可以看成为两列光11EyEx与cossincos][2pM2sincossin的叠加则22yxEE=cossincos22sincossin11EyEx=110010yxEE7将出来的偏振光11EyEx再次通过平行于第一个偏振器的偏振器件，则出来的偏振光33EyEx可以看作为偏振光22yxEE与cossincos][2pM2sincossin的叠加33EyEx=cossincos22sincossin22yxEE1100100010yxEE110010yxEE（28）如果我们把第三个偏振器转过450，则从偏振器出来的偏振光EyEx，可以着成是两列波22yxEE与pM][的叠加=11001021212121EyEx22yxEE=11101021EyEx（29）如果我们将第三个偏振器件转过120°，则从偏振器出来偏振光131131yxEE可以看成为波2222'3'3sincossincossincosEyExEyEx822EyEx与333141sincossincossincos22则222131131sincossinsin2cosEyExEEyx=110010333141EyEx11031041EyEx（30）我们将从第三个偏振器出来的偏振光，再次通过4的波片当波片u和x轴夹角2为00时：44EyEx可以看作是两例波33EyEx与)exp(cossin)]exp(1[cossin)]exp(1[cossin)exp(sincos2222jjjjM=oj10的叠加。则1144001010EyExojEyEx010011EyEx44EyEx可以看作是波33EyEx与01Mjo的叠加。则：3344010EyExjEyEx1101021EyExj3344010EyExjEyEx=11031141EyExj（31）9当波片u轴和x轴夹角2为45○时。44EyEx可以看作出波33EyEx与jjM1)1(211j的叠加。则jjEyEx1)1(21441j33EyEx=jj331)1(8100（32）6结束语：在光学中运用矩阵方法，可以使某些繁琐的光学问题更加简洁，并便于用电子计算来进行运算。这种方法日益得到了大家的重视，我们用一系列的矩阵方法来描述偏振态并用它来描述偏阵器器件的物理特性。我们通过一系列的矩阵运算就可以推断出偏阵光由偏阵器件构成的光学系统后出射的偏阵态。用矩阵来描述偏阵是一种殊而有十分简单的方法，让我们能跟好地运用偏阵光又迈进了一步。参考文献廖延彪偏振光学，科学出版社范少卿、郭富晶物理光学北京理工大学出版社：廖延彪、物理光学电子工业出版社姚启钧、光学教程高