八年级数学北师大版下学期期中复习

第1页版权所有不得复制年级初二学科数学版本北师大版内容标题初二数学北师大版下学期期中复习编稿老师巩建兵【本讲教育信息】一.教学内容：期中复习二.教学目标：1．一元一次不等式和一元一次不等式组的解法及应用．2．分解因式．3．分式运算和分式方程．4．比例线段，相似三角形的判定、性质和应用．三.知识要点分析：1．一元一次不等式和一元一次不等式组（1）一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法类似，根据不等式的基本性质将其变形为ax＞b（或ax＜b）的形式，再将x的系数化为1．所不同的是，若a＜0，不等号的方向要改变．（2）对于一元一次不等式组，先解不等式组中的每一个不等式，再利用数轴求它们解集的公共部分．（3）一元一次不等式kx＋b＜0（或kx＋b＞0）的解集，就是直线y=kx＋b上满足y＜0（或y＞0）的那条射线（不包含端点）所对应的自变量的取值范围．2．分解因式分解因式的常用方法：（1）提公因式法：am＋bm＋cm=m（a＋b＋c）；（2）运用公式法：①平方差公式：a2－b2=（a＋b）（a－b）；②完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2．3．分式（1）分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．（2）分式有意义的条件：分母不等于零，即B≠0→AB有意义．（3）分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即A=0，B≠0→AB=0．（4）分式的乘法法则：ba×dc=bdac，分式的除法法则：ba÷dc=ba×cd=bcad．（5）同分母分式加减法法则：ac±bc=a±bc，异分母分式加减法法则：ab±cd=adbd±bcbd=ad±bcbd．（6）解分式方程的基本思想：分式方程去分母转化→整式方程．（7）在解分式方程“去分母”时方程两边所乘的最简公分母如果为零就会产生增根，所以解分式方程必须验根．4．比例线段，相似三角形的判定、性质第2页版权所有不得复制（1）比例的性质：①ab=cdad=bc；②ab=cdba=dc；③ab=cda±bb=c±dd；④ab=cd=ef=…=mn（b＋d＋f＋…＋n≠0）a＋c＋e＋…＋mb＋d＋f＋…＋n=ab．（2）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．（3）两三角形相似的条件：①两角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．【典型例题】知识点1：一元一次不等式和一元一次不等式组例1．解不等式组并写出非负整数解．x－3（x－2）≥4①1＋2x3＞x－1②题意分析：非负整数是指大于或等于0的整数．思路分析：先解不等式，再利用数轴找出解集的公共部分，求出不等式组的解集，最后在其解集中找出非负整数．解：解不等式①得x≤1，解不等式②得x＜4．在数轴上表示不等式①、②的解集，如图所示：43210-2-156-3-4-5-6这两个不等式解集的公共部分是x≤1．所以不等式组的解集是x≤1，非负整数解有0、1．解题后的思考：求不等式（组）的特殊解时，要注意两点：一是正确求解不等式（组），二是正确理解像“整数、负整数、非负整数、非正整数等”这些词语．例2．某社区计划购买甲、乙两种树苗共600棵，甲、乙两种树苗单价及成活率见下表：种类单价（元）成活率甲6088%乙8096%（1）若购买树苗资金不超过44000元，则最多可购买乙树苗多少棵？（2）若希望这批树苗成活率不低于90%，并使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？购买树苗的最低费用为多少？题意分析：“不超过”是指小于或等于，“不低于”是指大于或等于．思路分析：（1）如果设购买了乙种树苗x棵，其费用为80x元；那么购买甲种树苗就是（600－x）棵，其费用是60（600－x）元．二者相加小于等于44000．即60（600－x）＋80x≤44000，解得x≤400．（2）一共购买600棵，成活率不低于90%，即成活的棵数要求大于等于540棵．甲的成活率是88%，乙的成活率是96%，甲、乙两种树苗共600棵，成活棵数是（600－x）×88%＋x×96%．即（600－x）×88%＋x×96%≥540．解得x≥150，在这个范围内成活率不会低于90%，由于乙种树苗的单价是80元，甲种树苗的单价是60元，所以x的值越大，总费用越大．显然当x取最小值的时候，费用最低．将x=150代入50（600－x）＋80x就是最低费用．解：（1）设最多可购买乙树苗x棵，则购买甲树苗（600－x）棵，60（600－x）＋80x≤44000，第3页版权所有不得复制解得x≤400．答：最多可购买乙树苗400棵．（2）设购买树苗的费用为W，则W=60（600－x）＋80x，即W=20x＋36000，根据题意，（600－x）×88%＋x×96%≥540．解得x≥150．当x=150时，W取最小值．W最小=20×150＋36000=39000．答：当购买乙树苗150棵时费用最低，最低费用为39000元．解题后的思考：这是一道设计方案型的题目，解决这类问题要注意最优方案应满足的条件．小结：解不等式的基本思路是把未知数移到不等号的一边，已知数移到不等号的另一边，注意系数化为1时不等号的方向是否需要改变；解不等式组时先解每一个不等式，再找它们解集的公共部分，可借助数轴，既直观，又准确．知识点2：分解因式例3．完成下列各题：（1）分解因式x（x＋4）＋4的结果是__________．（2）20082－20072＋20062－20052＋…＋22－12=__________．思路分析：（1）应该先做乘法，再运用公式法分解．（2）20082－20072可用平方差公式运算得（2008＋2007）×1，这里不要把2008＋2007计算出来，否则下一步计算将变得十分困难．20062－20052及以后各加数也用类似的方法．解：（1）（x＋2）2（2）2017036解题后的思考：在实际运算过程中，有时不要急于计算，先观察、找方法，再计算．贸然计算可能会使问题更复杂．例4．已知a2＋a－1=0，求代数式a4－2a2＋a的值．题意分析：已知一个关于a的方程，求代数式的值，通常的思路是根据已知求出a的值，再代入求解，这种方法往往非常复杂．思路分析：把所求代数式变形，或者把已知和所求都变形，找出它们所含的相同式子，再以整体代入的方法求解．解：由a2＋a－1=0a4－2a2＋a=a（a3－2a＋1）=a（a3－a－a＋1）=a[a（a2－1）－a＋1]0)1aa)(1a(a)1a()1a)(1a(aa2解题后的思考：本题变形方法较多，可有多种不同的解法，如a2－2a＋1－2a2＋a=－a2－a＋1=－（a2＋a－1）=0．小结：因式分解是整式乘法的逆运算，其主要作用是用于分式约分、解方程、简化计算、求代数式的值．知识点3：分式第4页版权所有不得复制例5．已知x=－2，求（1－1x）÷x2－2x＋1x的值．题意分析：要求值的代数式是分式的混合运算．思路分析：按照分式的运算法则，先计算、化简，再代入未知数的值求解．解：（1－1x）÷x2－2x＋1x=（x－1x）÷（x－1）2x=x－1x·x（x－1）2=1x－1当x=－2时，原式=1x－1=1－2－1=－13．解题后的思考：求代数式的值，能化简的要先化简再代入求值．例6．某项工程，原计划50人在若干天内完成，开工时由于采用新技术，工作效率提高了60%，现只派40人去工作，结果比原计划提前7天完成任务，求原计划工作多少天？题意分析：此项工程如果50人用x天完成，则每天可完成1x，每人每天可完成150x．思路分析：解此题的关键是准确用代数式表示出每人每日的工作效率，等量关系是：原来每人日工作效率×（1＋60%）=现在每人的日工作效率．解：设原计划用x天完成，则现在实际只用了（x－7）天，原来每人日工作效率为150x，现在每人日工作效率为140（x－7）．依题意列方程，得：150x×（1＋60%）=140（x－7）．整理，得1.6×40（x－7）=50x．所以x=32．经检验x=32是原方程的解．答：原计划要工作32天．解题后的思考：列分式方程解应用题的步骤和列整式方程解应用题的步骤相同：①弄清题意；②设定未知数；③根据题目中的等量关系列出分式方程；④解分式方程；⑤检验并写出问题的答案，检验时既要检验得到的根是不是分式方程的增根，又要检验是否符合实际．小结：对分式的考查主要是：分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的运算、分式方程的解法及应用题．知识点4：比例线段，相似三角形的判定、性质例7．如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，当∠1=__________，∠2=__________时，或ACAB=__________=__________时，△ADC∽△ACB．ABCD12题意分析：添加一个条件使△ADC∽△ACB．第5页版权所有不得复制思路分析：要使△ADC∽△ACB，根据相似三角形的定义，三组对应角分别相等，三组对应边成比例，由图可知，∠A为公共角，∠1的顶点与∠ACB的顶点重合．所以点A与点A对应，点C与点B对应，点D与点C对应，所以∠1=∠B，∠2=∠ACB，ACAB=ADAC=DCCB．解：∠B，∠ACB，ADAC，DCCB解题后的思考：在找对应边、对应角时，应先观察图形，找出图形中的条件，如公共角、公共边等，再找出对应顶点、对应边和对应角．在写相似表达式时，应尽量把对应顶点的字母写在对应的位置上．例8．如图所示，地面上直立着的两根高压电线杆相距50m（CD的长度），分别在高为30m的A处和20m的B处用钢索将两电线杆固定．（1）求钢索AD和钢索BC的交点E处离地面的高度．（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度是否随之发生变化？说明理由．ACBDEF题意分析：根据题意可知△ACD和△BCD都是直角三角形，且AC=30m，BD=20m，求点E到CD的距离，当CD的长度变化时，点E到CD的距离是否发生变化．思路分析：所求距离不能用勾股定理求解，应考虑相似三角形．解：（1）作EF⊥CD于F，因为AC⊥CD，BD⊥CD，所以AC∥BD∥EF．所以△DEF∽△DAC，△CEF∽△CBD，所以EFAC=DFDC，EFBD=CFDC．所以EFAC＋EFBD=DFDC＋CFDC=DF＋CFDC=1．因为AC=30，BD=20，所以EF30＋EF20=1，解得EF=12（m）．即钢索AD与钢索BC的交点E离地面的高度是12m．（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度不发生变化．因为从（1）中可知，CD为任意长时总有：EFAC＋EFBD=1，EF（1AC＋1BD）=1．所以EF=AC·BDAC＋BD．故EF的长度与CD的长度无关．解题后的思考：当图形中有平行线、对顶角、公共角等与相似三角形有密切关系的条件时，可利用相似三角形的性质求解．小结：相似三角形判定方法的作用：①可以用来判定两个三角形相似；②间接说明角相等，线段成比例；③间接为计算线段长度及角的大小创造条件．总结：本讲内容多为基础性知识，各类考试难度一般不大，通常以填空题、选择题和简单的解答题为主．学习时注意和相关知识的对比和联系．【模拟试题】（答题时间：50分钟）第6页版权所有不得复制一．选择题1．不等式2x－6＜0的解集是（）A．x＞3B．x＜3C．x＞－3D．x＜－32．把多项式2x2－8x＋8分解因式，结果正确的是（）A．（2x－4）2B．2（x－4）2C．2（x－2）2D．2（x＋2）23．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）A．xn=myB．ym=nxC．xm=ynD．xm=ny4．化简（a－b2a）·aa－b的结果是（）A．a－bB．a＋bC．1a－bD．1a＋b5．若分式x2－1x－1的值为零，则x的值为（）A．1B．－1C．1或－1D．0*6．以下两个图形必定相似的是（）A．有两条边对应成比例的等腰三角形B．有一角是25°的等腰三角形C．有一个角是100°的等腰三角形D．有一个角相等，两边成比例的三角形**7