傅里叶级数与傅里叶变换的关系

通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨摘要通过拉普拉斯变换主要用于求解线性微分方程（或积分方程）。经过变换，原来函数所遵从的微分（或积分）方程变成了像函数所遵从的代数方程，代数方程比较容易求解，从而化难为易，本论文将介绍通过”三“步求解线性微分（或）积分方程。关键词：拉普拉斯变换线性方程原函数像函数反演（一）拉普拉斯变换的定义傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数()fx在任一区间满足狄里希利条件，并且在(,)区间上绝对可积。这是一个相当强的条件，以致于许多常见的函数（如多项式，三角函数等）都不满足这一条件。因此需要引入——拉普拉斯变换。拉普拉斯变换常用于初始值问题，即已知某个物理量的初始时刻0t的值(0)f，而求解它在初始时刻之后的变化情况()ft，至于它在初始时刻之前的值，我们并不感兴趣，不妨置()0ft(0)t为了获得宽松的变换条件，把()ft加工为()gt，()()tgteft这里te是收敛因子，就是说，正的实数的值选得如此之大，以保证()gt在区间(,)上绝对可积，。于是，可以对()gt实施傅里叶变换()011()()()22ititGgtedtftedt将i记作p，并将()G改记作()2fp，则0()()ptfpftedt（1）其中积分0()ptftedt称为拉普拉斯积分，()fp称为()ft的拉普拉斯变换函数.（1）代表从()ft到()fp的一种积分变换，称为拉普拉斯变换（简称拉式变换），pte称为拉普拉斯变换的核。()G的傅里叶逆变换是咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）II1()()()2ititgtGedfied即()1()()2itftfied由ip，有1ddpi所以1()()2iipiftfpedpi()fp又称为像函数，而()ft称为原函数，它们之间的关系常用简单的符号写为()()fpft1()()ftfp（二）拉普拉斯变换的基本性质（1）线性定理若1()ft1()fp，2()ft2()fp，则1122()()cftcft1122()()cfpcfp（2）导数定理'()()(0)ftpfpf（3）积分定理01()()tdtp（4）相似性定理1()()pfatfaa（5）位移定理()()teftfp（6）延迟定理00()()ptfttefp(7)卷积定理若11()()ftfp，22()()ftfp，则1212()()()()ftftfpfp其中咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）III12120()()()()tftftfftd（三）拉普拉斯变换的反演（1）有理分式反演法如果像函数是有理分式，只要把有理分式分解成分项分式，然后利用拉普拉斯变换的基本公式，就能得到相应的原函数。例1求3242936()81pppfpp的原函数解；先将这个有理分式分解成分项分式，3222936()(3)(3)(9)pppfpppp=21111123239pppp=222111111323239939ppppppp即得33111()cos3sin3223ttfteett（2）查表法许多函数的拉普拉斯变换都制成了表格，从表上直接查找很方便，对于一般常见的像函数，都能查出其原函数，有些像函数，虽然不能直接从表中查出其原函数，但可以利用延迟定理，位移定理和卷积定理，在配合查表而解决其反演问题.例2求22()p和22()pp的原函数解；先将两函数里的p位移为p查表得2222sin,cospttpp再应用位移定理，即得22sin()tetp咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）IV22cos()tpetp（四）用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可以归纳为以下”三”步，也就是三步求解线性微分，积分方程。（1）对方程实施拉普拉斯变换，这变换把初始条件也一并考虑。（2）从变换后的方程解出像函数.。（3）对求出的像函数进行反演，原函数就是原来方程的解。例1求解交流PL电路的方程0sin,(0)0dLjRjETjdt解；第一步对方程实施拉普拉斯变换得022LpjRjEP第二步从变换后的方程解出像函数()jt002222EEIjRLpRPLppL第三步对像函数()jt进行反演。由于22sinpt()1RtLeRpp引用卷积定理完成反演，()()00()sintRtLEjtedL=02220()sincostRRtLLRELeeRLL=咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）V()00222222()sincosRLRttEEeLRRLLLL=()00222222(sincos)RtLEELRtLteRLRL所得结果的第一部分代表一个稳定的（幅度不变的）振荡，第二部分则是随时间而衰减的，稳定的振荡部分还可以如下改写；0222(sincos)ERtLtRL=0222222222sincosERLttRLRLRL=0222cossinsincosEttRL=0222sinEtRL，其中222222arccosarcsinRLRLRL电工学里常用的复数主抗法或矢量法只给出这个形式的稳定振荡，没有考虑随时间衰减的部分。例2两个线圈具有相同的R,L和C.两线圈之间的互感系数为M，在初级线路有直流电源，其电压为0E,今接通初级线路中的电钥K,问次级电路中的电流2j的变化情况如何？解；先写出电路方程1112001tddLjRjjdtMjEdtCdt(2)2221010tddLjRjjdtMjdtCdt（3）还有初始条件1(0)0j2(0)0j第一步对方程进行拉普拉斯变化得到代数方程咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）VI0121ELpRjMpjCpP(4)2210LpRjMpjCp（5）第二步联立（4）（5）求解像函数2j20222421EMpjMpLpRpC第三步进行反演的把它分解为分项分式，022211112EjLMpRpLMpRpCC查表进行反演得到1221122()sinsinttjtCetCet其中12RLM，22RLM21214RCLMLM22214RCLMLM0112ECLM0222ECLM（五）总结咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）VII留数法在拉普拉斯反变换中的应用摘要：本文研究了留数法求解；拉普拉斯反变换的基本原理，分析表明，留数法用于求解反变换有着归纳详尽、使用灵活方便等特点，对实际因果系统的分析求解有着很高的实用价值。关键词：留数法；拉普拉斯反变换；像函数；原函数引言采用留数法计算拉氏反变换（或者z反变换）是一种很重要的用数学方法求解系统变换域问题的方法。本文着重介绍了留数法进行拉普拉斯反变换的求解，这不仅可以比较详尽的分析问题，对于理解和设计实际问题也有着借鉴价值。正文一．留数定理《复变函数》中，根据柯西定理，如果被积函数f(z)在回路l所围的闭区域上是解析的，则回路积分等于零。如果l包围的区域有f（z）的奇点，则需要应用留数定理来求解。根据重要例题结论：0,1211()0.12lnlldzizlzdzni不包围，包围可以推导出1()2Re()njljfzdzisfz咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）VIIIResf(z)为函数的留数。留数定理即复变函数的回路积分为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。关于留数的具体求法在课程《数学物理方法》中已进行过深入研究与练习，在此不再赘述。二、留数法求拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换即由像函数反求原函数的过程。通常有两种求拉普拉斯反变换的方法，即部分分式展开法与围线积分法。部分分式展开法是将像函数分解为若干简单变换式之和，然后逐项反变换求取原函数，此方法仅限于像函数是有理数的情况。围线积分法是利用复变函数中的围线积分和留数定理进行的，适用范围较宽。由拉普拉斯反变换的定义知道直接求解这个积分是十分困难的，但由复变函数理论知可以将此转换成求F(s)在一个闭合围线内部全部留数的代数和。在此，F(s)e^st的积分等于围线C内所包围的所有F(s)e^st的极点的留数之和.积分围线C为如图所示的半径为无穷大的圆弧.三、留数法求有理分式的拉普拉斯反变换若pi为一阶极点，留数dsesFjsFLtftsjj)(21)]([)(1ipsstiiesFps])()[(niiiisttsjjsFLtfpsesFdsesFjsFLtf111)]([)(,])([)(21)]([)(则有处的留数为若设极点的留数极点咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）IX若pi为k阶极点，在此例举一具体问题求32()(1)sFsss的拉普拉斯反变换。解：10033(31)''2112''12213222122[()][]2(1)112[(1)()][](31)!212[()]21442[]21[344]23()(e2e2e2ststssststssststsstststststttttssFseesssFseesetesetetetesssteteefttt2)()tut由此看以看出，用留数法求解有理分式的拉普拉斯反变换时，过程与结论形式均与部分分式展开法求解拉普拉斯反变换时相似，结果相同。但在计算重根的留数时，方法比部分分式展开法要简单一些。三、留数法求无理式的拉普拉斯反变换给定一无理函数22(334)()(2)10sseFss，欲求此函数的原函数，首先由其是一无理函数首先可以考虑运用留数法。F（s）的两个极点分别为：12210,210pjpj则：ipskstkiiesFpsk)1(])()[()!1(1咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）X210(210)1210210(210)2210(334)(4030)Re(),121020(334)(4030)Re(),121020jstjtsjjstjtsjsjespeetsjjsjespeetsjj2(1)12()Re()Re()3cos10(1)4sin10(1)(1)tftspspettut可见，留数法可以处理无理函数。但是计算上不算简单。事实上，此题可以运用部分分式展开法与拉普拉斯变换的时间平移特性结合来完成更为简单。四、小结拉普拉斯变换是一种积分变换,它是求解线性常微分方程、研究线性系统的一个重要工具,在物理和工程等领域有着广泛的应用。利用拉普拉斯变换法求解定解问题的方法是:在原函数满足的方程中,通过拉普拉斯变换,将原函数变换为像函数,得到关于像函数的方程并进行求解。这一过程相对容易。而为了得到原函数,必须作拉普拉斯逆变换。在一些书上,通过列表的方式给出了一些像函数所对应的原函数,但是,对于表中没有出现的像函数怎样求得原函数,咸阳师范学院2011届本科毕