储庆昕高等电磁场讲义第十五章

====================高等电磁场讲义第15讲============================褚庆昕=======15-1第15讲Green函数法（I）15.1Green函数法的基本思想考虑算子方程)()(rgrLu(15-1)其中，L表示线性算子，g表示激励源，u表示待求的场解。为了求解该方程，引入Green函数),(rrG,满足)(),(rrrrLG(15-2)式中，rr,分别表示场点和源点矢径。由于)()(rrrr，所以),(),(rrGrrG，即Green函数具有对称性。根据函数的选择性，当vr时)()()(rfvdrrrfv,如果定义内积（反应）,vabdvba,,则选择性可表示为)()(),(rfrrrf于是，对(15-2)两边关于源g取内积，得)()(),(),(),(rgrrrgrrLGrg由于算子L仅作用于场点r。所以，算子L可提到内积符号外，即)(),(),(rgrrGrgL(15-3)与(15-1)比较可知dvrrGrgrrGrgruv),()(),(),()((15-4)从(15-2)可以看出，所谓Green函数是r处的点源在r处产生的场，而源g与Green函数的内积便是源产生的场。所以，Green函数法的本质是利用点源产生的场展开求具体源产生的场，其展开系数就是源函数。实际上，Green函数与本征函数关系密切，根据本征函数法的结果nnnnnnnnrururgrururgru)()(1),()()(),(1)((15-5)与(15-4)比较，可知)()(1),(rururrGnnnn(15-6)这正是用本征函数展开法求解Green函数的公式。进一步，有nnnnnnrururLururrLGrr)()()()(1),()((15-7)也就是说，函数也可以用本征函数展开法求解，这为函数的研究提供了新途径。====================高等电磁场讲义第15讲============================褚庆昕=======15-215.2频域非齐次标量波动方程的Green函数解频域非齐次标量波动方程的一般形式为)()()(22rgrk(15-8)引入Green函数),(rrG，满足)(),()(22rrrrGk(15-9)应用Green定理vsdsndvˆ)()(22取),(rrG，)(r，则svdsnrrGrrrrGdvrrGrrrrGˆ)],()()(),([)],()()(),([222考虑(15-8)和(15-9)，以及Green函数的对称性，上式左边可写为vvvrvdrgrrGvdrrrrkrrGvdrrrrGkrrrrG)()(),()]()()())(,([)](),()[()(),(2222于是，得到了波函数的积分表达式vssdnrrGrrrrGvdrgrrGrˆ)],()()(),([)(),()((15-10)在由(15-9)引入Green函数),(rrG时，非没有考虑Green函数的边界条件。根据边界条件的不同，Green函数可分为三类。1、均匀无界空间中的Green函数，记为),(0rrG。),(0rrG在整个均匀无界空间满足方程(15-9)，没有任何强制性的边界条件。但由于Green函数是由点源产生的场，所以，在无限远处rrR，),(0rrG应满足自然边界条件0lim0GR(15-11)2、有界空间第一类Green函数，记为),(1rrG。它满足第一类边值问题(Dirichlet边值问题)，即在边界S上，满足0),(1srrG(15-12)====================高等电磁场讲义第15讲============================褚庆昕=======15-33、有界空间第二类Green函数，记为),(2rrG。它满足第二类边值问题(Neumann边值问题)，即在边界S上，满足0),(2snrrG(15-13)应当注意，Green函数的使用与原场问题的边界并没有直接关系。对于有界区域的问题，仍可以使用无界空间的Green函数0G。但是，这时为了求得波函数)(r,还需知道它在边界S上的值及其法向导数。如果使用第一类Green函数1G，则(15-10)变为vssdnrrGrvdrgrrGrˆ),()()(),()(11(15-14)这时，只需知道波函数在边界上的场值。同样，如果使用第二类Green函数2G，则(15-10)变为vssdnrrrGvdrgrrGrˆ)(),()(),()(22(15-15)只需知道波函数在边界上的法向导数。15.3均匀无界空间中的Helmholtz算子的Green函数均匀无界空间Helmholtz算子的Green函数满足(15-9)以及自然边界条件(15-11)。将坐标系的原点选在0rrR处，则点源)(rr在均匀无界空间中产生的波函数－Green函数，一定是球对称的，只与R有关，因而球坐标系中的(15-9)可写成)()(1222RGkRGdRdR(15-16)方程两边乘以R，得RRGRkRGdRd)()(222(15-17)注意到0)(RR(15-18)事实上，0R时上式显然成立。为了判别0R时RR)(的值，在以0R为球心半径趋于0的球内积分，有vRdRR0)(，所以，0R时(15-18)也成立。于是，(15-17)实际上是一个齐次波动方程，解为jkReRAG，其中，A为常数。考虑到G是位于球心的点源产生的波函数，G只可能是外面波，所以应取jkReRAG(15-19)为了确定A，将上式代入(15-9)，并在球心位于0R、半径R趋于0的小球体积内积分，得vvdvRGdvk1)()(22(15-20)====================高等电磁场讲义第15讲============================褚庆昕=======15-4上式左边第一项当0R时为AReRAkjeRAdseRARdsRGGdvjkRjkRRjkRsRvsRR44)(lim)(limˆlimlim2200020左边第二项为04limlim202020dRReRAkGdvkRjkRRvR所以41A于是，均匀无界空间Helmholtz算子的Green函数为rrerrGrrjk4),((15-21)rnR源区0PrS图15-1场源分布在有限区域内15.4Sommerfeld辐射条件在均匀无界空间中，假定场源分布在有限区域中，作一足够大的闭合曲面S包含整个场源。于是，波函数满足(15-10)的积分表达式。根据场的叠加原理，(15-10)中体积分项表示闭合曲面S内的源所产生的场，而面积分项则表示曲面S外的源的贡献。如果曲面S为无穷大曲面S，在S面外不存在源，则面积分项应为零，即sdnRerrRejkRSjkRˆ])()([(15-22)式中，n为S面上的法向单位矢量。因为S为无限大球面，R，所以n与R方向相反以及Rr，如图15-1所示，于是2)(ˆˆReRejkReRnRenRejkRjkRjkRjkRjkRRnrˆ)(代入(15-22)并考虑dRds2，其中dddsin为立体角元，有====================高等电磁场讲义第15讲============================褚庆昕=======15-50])([dejkRRjkRS(15-23)为使上式成立，应有0)(limlimjkRRRRR有限值(15-24)上式称为Sommerfeld辐射条件。当波函数满足(15-24)时，表示无穷远处不存在场源，波函数只表示外向波，即辐射场。15.5均匀无界空间中非齐次波动方程的解根据波函数的积分表达式(15-10)和Sommerfeld辐射条件，在均匀无界空间中当场源分布在有限区域内时，波函数为vdRergrvjkR4)()((15-25)上式称为Helmholtz积分，它就是均匀无界空间中当场源分布在有限区域内时非齐次波动方程的解。如果把看成是标位，那么由(15-25)可直接得到均匀无界空间中电荷分布在有限区域内时标位的表示式vjkRvdRerr4)()((15-26)我们也可以把看成是矢位A或Hertz矢量e、m的每一个直角坐标分量，然后将三个直角坐标分量相加，可求得均匀无界空间中场源分布在有限区域内时矢位A和Hertz矢量e、m的表示式为vjkRmvjkRevjkRvdRerMrvdRerPrvdRerJrA4)()(4)()(4)()((15-27)15.6时域非齐次波动方程的Green函数解应用Fourier变换，我们可以从频域非齐波波动方程的Green函数解(15-10)得到其时域方程解。首先根据Fourier变换及(15-10)，有dsnderrGrrrrGvddergrrGdertrstjvtjtjˆ),()()(),([21)(),(21)(21),(再利用Fourier逆变换，上式可写为====================高等电磁场讲义第15讲============================褚庆昕=======15-6dsndtdeerrGtrtddeetrrrGvdtddeetrgrrGtrtjtjtjtjsvtjtjˆ]),(),(21),(),(21[),(),(21),(于是dsntdttrrGtrtdtrttrrGvdtdtrgttrrGtrsvˆ]),,,(),(),(),,,([),(),,,(),((15-28)式中，derrGttrrGttj)(),(21),,,((15-30)将算子)(222t作用于上式两边，可得detrrGderrGttrrGtttjttj)(22)(2222),(2),(21),,,()(