高考文科数列知识点总结(全)

数列知识点一．考纲要求内容4要求层次ABC数列数列的概念数列的概念和表示法√等差数列、等比数列等差数列的概念√等比数列的概念√等差数列的通项公式与前n项和公式√等比数列的通项公式与前n项和公式√二．知识点(一)数列的该概念和表示法、（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作na，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，……，na，……，简记作na。（2）通项公式的定义：如果数列}{na的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式说明：①na表示数列，na表示数列中的第n项，na=fn表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数()fn当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff……，()fn，……．通常用na来代替fn，其图象是一群孤立的点（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列（5）递推公式定义：如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式（二）等差数列1.等差数列的定义：daann1（d为常数）（2n）；2．等差数列通项公式：*11(1)()naanddnadnN，首项:1a，公差:d，末项:na推广：dmnaamn)(．从而mnaadmn；3．等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4．等差数列的前n项和公式：1()2nnnaaS1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为2n+1的等差数列的中间项12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。6．等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．7.等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.（4）若na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列(5)若{na}是等差数列，则232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列（6）数列{}na为等差数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等差数列（7）设数列na是等差数列，d为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前n项的和1.当项数为偶数n2时，121135212nnnnaaSaaaana奇22246212nnnnaaSaaaana偶11=nnnnSSnananaand偶奇11nnnnSnaaSnaa奇偶2、当项数为奇数12n时，则21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．（8）等差数列{}na的前n项和mSn，前m项和nSm，则前m+n项和mnSmn(9)求nS的最值法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，，001da由001nnaa可得nS达到最大值时的n值．（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即当，，001da由001nnaa可得nS达到最小值时的n值．或求na中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为2pqn（三）等比数列1.等比数列的定义：*12,nnaqqnnNa0且，q称为公比2.通项公式：11110,0nnnnaaaqqABaqABq，首项：1a；公比：q推广：nmnmaaq，从而得nmnmaqa或nnmmaqa3.等比中项（1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列na是等比数列211nnnaaa4.等比数列的前n项和nS公式：(1)当1q时，1nSna(2)当1q时，11111nnnaqaaqSqq5.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)nnnnnaaqaqqaa或为常数，{}na为等比数列（2）等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）{}na为等比数列（3）通项公式：0nnaABAB{}na为等比数列（4）前n项和公式：'',,','nnnnSAABSABAABAB或为常数{}na为等比数列6.等比数列的证明方法依据定义：若*12,nnaqqnnNa0且或1nnaqa{}na为等比数列7.等比数列的性质(1)当1q时①等比数列通项公式1110nnnnaaaqqABABq是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q②前n项和111111''1111nnnnnnaqaaqaaSqAABABAqqqq，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2)对任何m,n*N,在等比数列{}na中,有nmnmaaq,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若m+n=s+t(m,n,s,t*N),则nmstaaaa.特别的,当n+m=2k时,得2nmkaaa注：12132nnnaaaaaa(4)列{}na,{}nb为等比数列,则数列{}nka,{}nka,{}kna,{}nnkab{}nnab(k为非零常数)均为等比数列.(5)数列{}na为等比数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等比数列(6)如果{}na是各项均为正数的等比数列,则数列{log}ana是等差数列(7)若{}na为等比数列,则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列(8)若{}na为等比数列,则数列12naaa,122nnnaaa,21223nnnaaa成等比数列(9)①当1q时，②当1q0时，110{}0{}{nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列,110{}0{}{nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列{}na中,当项数为2n(n*N)时,1SSq奇偶,.(11)若{}na是公比为q的等比数列,则nnmnmSSqS数列教学目标（一）知识与技能目标：要求学生理解并掌握等差数列的概念，理解等差数列的通项公式的推导过程及思想，初步引入“数学建模”的思想方法并能应用（二）过程与方法目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移到研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。（三）情感态度价值观目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索，勇于发现的求索精神，使学生逐步养成细心观察，认真分析，善于总结的良好思维习惯。二、教学重点、难点重点：等差数列的概念以及等差数列的通项公式的推导过程及应用。难点：应用不完全归纳法和迭加法是这节课的一个难点，同时，用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。1、由引入得出等差数列的概念：如果一个数列,从第二项起，每一项与它的前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：①“从第二项起”满足条件；②公差d一定是由后项减前项所得；③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数”）；一．数列考点：1.等差数列、等比数列的求通项及球和；2.数列的递推；3.数列的实际运用。二．数列常用数学思想：1.方程思想2.函数思想3.转化思想4.观察、归纳、猜想、证明5.整体思想6.特殊化思想7.类别思想2.等差数列的性质若a，b是等差数列na中取一部分连续的项，仍然是等差数列、通项公式在归纳等差数列通项公式中，我采用学生分组的教学方法。给出等差数列的首项a，公差d，由学生研究分组讨论na的通项公式。归纳na的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。若一等差数列{na}的首项是1a,,公差是d,则据其定义可得：21aad-=即：21aad=+32aad-=即：32aad=+=12ad+……猜想:1(1)naand=+-进而归纳出等差数列的通项公式：1(1)naand=+-此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：21aad-=32aad-=1nnaad--=将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到1(1)naand=+-即1(1)naand=+-（1）当n=1时，（1）也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立因此它就是等差数列｛na｝的通项公式。所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立因此它就是等差数列｛na｝的通项公式。在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想”的教学要求1）2）若m+n=q+p(mnqpN)，则pqmnaaaa若nnnnnmmm..............2121则kknnnmmmaaaaaa............2121