八年级第三章3.5矩形菱形正方形(第1课时)(顾厚春)

苏科版教学案八年级第三章3.5矩形、菱形、正方形（第1课时）顾厚春第1页§3.5矩形、菱形、正方形（第1课时）审核人：夏建平【目标导航】1．理解矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系．2．探索并掌握矩形的有关性质，能灵活运用矩形的性质解决有关问题．【要点梳理】1.矩形的定义：平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.（2）矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；矩形也是轴对称图形，矩形有条对称轴，是经过对边中点的直线.（3）矩形的四个角都是，矩形的对角线.3.矩形的面积：矩形的面积等于的乘积.4.矩形与三角形的关系：矩形被它的一条对角线分成一对全等的三角形，矩形被它的两条对角线分成两对全等的三角形，这四个三角形面积相等.【问题探究】知识点1.矩形的定义和性质例1．（2010·江苏泰州）如图3.5-1-1，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．(1)求证：AC∥DE；(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．（图3.5-1-1）【变式】（2009·浙江衢州）如图3.5-1-2，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．（图3.5-1-2）知识点2.矩形的面积例2．（2010·广西河池）如图3.5-1-3，矩形ABCD中，AB＝8㎝，CB＝4㎝，E是DC的中点，BF＝41BC，则四边形DBFE的面积为2cm．（图3.5-1-3）（图3.5-1-4）【变式】（2010·山东荷泽）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合点为A＇，则△A＇BG的面积与该矩形的面积比为（）A．121B．91C．81D．61苏科版教学案八年级第三章3.5矩形、菱形、正方形（第1课时）顾厚春第2页知识点3.综合运用矩形和三角形的性质解决问题例3．（2009·黑龙江大兴安岭）如图3.5-1-5，在矩形ABCD中，1AB，3AD，AF平分DAB，过C点作BDCE于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①FHAF；②BFBO；③CHCA；④EDBE3，正确的（）A．②③B．③④C．①②④D．②③④【变式】在例3中，若将条件“1AB，3AD”去掉，其余条件不变，那么线段BD与CH相等吗？说明理由．知识点3..矩形折叠问题的探究例4．（2010·山东青岛）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图3.5-1-6方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是cm2．（图3.5-1-6）（图3.5-1-7）【变式】（2010·江苏连云港）矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．【课堂操练】1.（2010·山东泰安）如图3.5-1-8，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC=8，CD=6，则CF=．（图3.5-1-8）（图3.5-1-9）（图3.5-1-10）2.（2010湖北恩施，7，3分）如图3.5-1-9，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF=3.（2010·辽宁丹东）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．苏科版教学案八年级第三章3.5矩形、菱形、正方形（第1课时）顾厚春第3页【每课一测】（完成时间：45分钟，满分：100分）一、选择题（每题5分，共25分）1．（2009·湖南长沙）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，602AOBAB°，，则矩形的对角线AC的长是（）A．2B．4C．23D．432．（2010·江西南昌）如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为()A．4B．3C．2D．1（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3.（2009·四川绵阳）如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD=4:3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC=（）A．1:3B．3:8C．8:27D．7:254．（2010年·浙江温州）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2010·山东潍坊）如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是（）A．360°B．540°C．720°D．630°DBCA（第5题图）（第8题图）（第9题图）（第10题图）二、填空题（每题5分，共25分）6．已知E是矩形ABCD的边BC的中点，那么S△AED：S矩形ABCD的值为．7．在矩形ABCD中，对角线ACBD交于点O,CH⊥BD于点H，若∠BCH=28°，则∠OCH的度数为．8．（2010·江苏南通）如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D、C两点分别落在D′、C′的位置，并利用量角器量得∠EFB＝65°，则∠AED′等于度．9．(2010·黑龙江齐齐哈尔市)如图所示，E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，试添加一个条件：，使得△ADF≌△CBE．10．(2010·内蒙古呼和浩特)如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，CB交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为．三、解答题（每题10分，共50分）11．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数.（第11题图）苏科版教学案八年级第三章3.5矩形、菱形、正方形（第1课时）顾厚春第4页12．(2010·广西百色)已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线BD上的两点，且BF＝DE.（1）按边分类，△AOB是三角形；（2）猜想线段AE、CF的大小关系，并证明你的猜想.OFEDCBA（第12题图）13．（2010·四川达州）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明.（第13题图）14.（2007·吉林）如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．(1)求证：四边形AECG是平行四边形；(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．（第14题图）15．（2010湖南邵阳，19，6分）如图（十）将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕.（1）求证：△FGC≌△EBC；（2）若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF（阴影部分）的面积．（第15题图）苏科版教学案八年级第三章3.5矩形、菱形、正方形（第1课时）顾厚春第5页§3.5矩形、菱形、正方形（1）参考答案【要点梳理】1.有一个角是直角的.2.相邻两边长.3.两，直角，相等.4.直角，等腰.【问题探究】例1．⑴在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB，∴∠DCA=∠EDC，∴AC∥DE；⑵四边形BCEF是平行四边形．理由：由∠DEC=90°，BF⊥AC，可得∠AFB=∠DEC=90°，又∠EDC=∠CAB，AB=CD，∴△DEC≌△AFB，∴DE=AF，由⑴得AC∥DE，∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD=EF，∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴EF∥BC且EF=BC，∴四边形BCEF是平行四边形．【变式】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°，∴∠PBA=∠ABC－∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD－∠PCB=30°．∴∠PCQ=∠QCD－∠PCD=30°．∴∠PBA=∠PCQ=30°．(2)∵AB=DC=QC，∠PBA=∠PCQ，PB=PC，∴△PAB≌△PQC，∴PA=PQ．例2．10．【变式】C．例3．D．【变式】相等（理由略）．例4．5.1．【变式】52．【课堂操练】1.35.2.52.3.解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC∴Rt△AEF≌Rt△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．【每课一测】一、选择题（每题5分，共25分）1．B．2．B．苏科版教学案八年级第三章3.5矩形、菱形、正方形（第1课时）顾厚春第6页3.D.4．D．5．D．二、填空题（每题5分，共25分）6．1：2．7．34．8．50°.9．答案不唯一，如AF＝CE，∠ADF＝∠CBE，∠AFD＝∠CEB，∠DFE＝∠BEF，∠FDC＝∠ABE，AE＝CF，BE∥DF等．10．5．三、解答题（每题10分，共50分）11．解：在矩形ABCD中，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=21∠BAD=45°，又∵∠CAE=50°，∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=60°△AOB为等边三角形，∴OB=AB，∠ABO=60°∴∠OBE=∠ABC－∠ABO=90°－60°=30°∵∠BAE=45°，∠BEA=45°∴AB=BE，OB=BE∴∠BOE=2301802180OBE=75°12．（1）等腰；（2）猜想：AE＝CF证法一：∵四边形是ABCD矩形∴AD∥BC且AD＝BC∴∠ADB＝∠CBD∵DE＝BF∴△ADE≌△CBF（SAS）∴AE＝CF证法二：∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OC，OB＝OD∵DE＝BF，∴OE＝OF又∠AOE＝∠COF∴△AOE≌△COF(SAS)∴AE＝CF证法三：如图，连结AF、CEOFEDCBA由四边形ABCD是矩形得OA＝OC，OB＝OD∵DE＝BF，∴OE＝OF∴四边形AECF是平行四边形.∴AE＝CF13．解：有,△ABN≌△AEM.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90°∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM，苏科版教学案八年级第三章3.5矩形、菱形、正方形（第1课时）顾厚春第7页∴AE=CD，∠E=∠D=90°,∠EAN=∠C=90°∴AB=AE，∠B=∠E，∠DAB=∠EAN，即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM，∴∠BAN=∠EAM.在△ABN与△AEM中，BE,ABAE,BANEAM,∴△ABN≌△AEM.14．（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=21∠DAC，∠DCF=21∠BCA，∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．（2）在ABCRt中，∵AB=4，BC=3，∴AC=5．∵CF=CB=3，∴AF=2．在AEFRt中，设xEF，则xAE4．∵222EFAFAE，∴2222)4(xx．解得23x，即线段EF的长为cm23．15.解：（1）∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠FEA又∠CEF＝∠FEA∴∠CEF＝∠CFE∴EC=FC在直角△FGC和直角△EBC中，EC=FCBC＝AD＝