人口预测问题的数字建模

1人口预测问题数学模型岳靖雨王泽摘要在计划生育的影响下，我国人口的出生率持续下降，远远低于其他发展中国家，甚至低于美英等发达国家。人口出生率的降低，带来最直接的问题就是我国劳动力的逐年下降，尤其是青壮年劳动力的不足，从而严重影响了我国社会生产的发展。同时，随时人们生活水平的提高以及卫生医疗事业的发展，大大延长了国民的寿命，使得我国出现了人口老龄化的现象，并且这种现象呈现了日益严重的趋势。为此，第十八届中央委员会第三次全体会议决定开放单独二胎政策，以提高我国人口的出生率以及降低人口老龄化程度。基于此，本文旨在研究开放单独二胎政策对我国人口出生率以及人口结构的影响。在参阅大量研究报告的基础上，构建了合适的预测人口的数学模型，对我国未来几年内人口总数及老龄人口数进行了预测。通过得到的数据结果说明了，开放单独二胎政策确实能够提高我国人口的出生率，有效地缓解出生率下降的趋势，但相对于我国的人口基数，这种增长是非常微小的；未来几年内，我国老龄人口所占的比例仍会持续上升，但是在单独二胎政策的影响下，我国老龄人口所占比例的增长率将会基本保持不变，不会出现计划生育时期逐渐增大的现象。关键词：单独二胎政策；人口预测模型；人口老龄化；人口结构一、问题重述人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。因此，我国决定开放单独二胎政策。实施这项政策不仅是计划生育工作的一项重要调整，同时也充分适应了我国人口的发展趋势，是满足人民群众需求的一项关键性举措，具有重大现实意义。本文旨在发掘该项政策的改变对我国人口数量、人口老龄化的影响程度，对未来几年内我国人口数量及老龄人口所占比2例的变化趋势做出合理的预测。二、问题分析目前，已经有了很多对人口预测的研究报告及研究方法。本文在参阅大量研究报告的基础上，给出了三种典型的数学模型，分别是Logistic增长模型、线性回归模型以及灰色系统GM(1,1)模型。人口预测的准确与否，则取决于所采用的预测方法是否妥当。不同的预测模型，适用的范围大不相同，相应地预测结果也会大不相同。例如，Logistic增长模型考虑到地球上的资源与生存空间是有限的，人口不可能无限增加。因此，在Logistic增长模型中人口的增长率是先增后减的；线性回归模型认为数据之间呈线性相关，用一条直线去拟合数据，对线性相关的数据具有很好的拟合效果；灰色系统GM(1,1)模型通过对原始数据的处理和灰色模型的建立，发现并掌握系统发展的规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。通过数据的累加或累减，能够提高数据的光滑性，对于解决少数据，不确定的问题有独特的优势。影响人口增长的因素繁多，任何一种模型都不能完整地预测其发展情况，具体采用何种模型或采用哪些种模型，是本文所要解决的主要问题之一。其次，在确定所用的模型之后，就要考虑单独二胎政策的开放对我国人口的增长率及我国人口老龄化的影响程度，做出合理的预测。三、模型假设1、假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值；2、对人口的预测，只考虑生育模型、出生率、死亡率及性别等因素，不考虑自然灾害、战争等引起的人口数量变化；3、无较大的国际性人口迁移；4、65岁以上的人口为老龄人口；5、单独二胎政策在全国范围内均已实行。四、符号说明符号说明单位()xtLogistic增长模型中，在t时刻的人口数量万人rLogistic增长模型中的系数，称为生命系数\mxLogistic增长模型中的系数，称为生命系数\0x初始0t年的人口数量万人3ab、线性回归模型中的系数\n线性回归模型中的样本个数个(0)X我国历年人口数量万人(1)X对原始数据累加一次之后的数列万人()Pt本文采用的预测我国人口数量的模型万人min()Pt预测人口下限值万人max()Pt预测人口上限值万人五、典型预测模型简介5.1模型一：Logistic增长模型Logistic增长模型是一种S形函数模型，它是皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒在1844或1845年研究人口增长关系时提出并命名的。Logistic曲线可以模仿一些情况人口增长的S形曲线。起初阶段大致是指数增长；然后开始变得饱和，增加变慢；最后，达到成熟时增加停止[1]。此模型属于微分方程预报模型方法范畴，Logistic人口模型的一半形式为：001mttdxxrxdtxxx(5-1)其中mrx、称为生命系数，x为在t年时人口数量，0x为初始0t年的人口数量。(5-1)式是伯努利(Bernoulli)方程，利用计算机编程可得解为：0()11mrtmxxtxex(5-2)曲线()Nt的形状如图5.1所示，这种曲线称为S形曲线，由曲线的形状，可以得到如下结论：4t0N/rK/2rK图5.1Logistic增长曲线在人口总数达到极限值一半(即/2rK)以前，是加速增长时期，过这一点以后，增长的速度逐渐小，并且迟早会达到零，这是减速增长时期。5.2模型二：线性回归模型回归分析起源于生物学研究，是由英国生物学家兼统计学家高尔登(FrancisGalton1822-1911)在19世纪末叶研究遗传学特性时首先提出来的。高尔登在1889年发表的著作《自然的遗传》中，提出了回归分析方法以后，很快就应用到经济领域中来，而且这一名词也一直为生物学和统计学所沿用[1]。设x为自变量，y为因变量，x与y之间存在某种线性关系，即一元线性回归模型为：yabx(5-3)其中x代表影响因素，我们往往认为它是可以控制或预先给定的，故称之为自变量；因变量y就是我们的预测对象；常数,ab是待定的参数。给定(,)xy的n对观测值(,)iixy，1,2,,in，代入式(5-3)得：iiyabx(5-4)称(5-4)为一元线性回归模型。显然，此时的方程组个数大于待定参数的个数，方程无解。估计模型的回归系数有许多方法，其中使用最广泛的是最小二乘(OLS,OrdinaryLeastSquare)法。待定参数,ab可由下式给出：1112211()nnniiiiiiinniiiinxyxybnxx(5-5)11nniiiiyxabybxnn(5-6)5其中1111,nniiiixxyynn。5.3模型三：灰色系统GM(1,1)模型灰色系统理论指出，用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削弱的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型，建模的实质是建立微分方程的系数。灰色系统理论中的GM(1,N)模型能够用于灰色预测，而当问题中考虑的变化趋势只有一个参考数列时，也即模型GM(1,N)中的N取为1，模型可以化简为GM(1,1)模型[2]。该模型如下所示：假设已知数列：(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())XXXXn(5-7)进而可以得到累加一次后的数列：(1)(1)(1)(1)((1),(2),,())XXXXn(5-8)利用累加后的数列建立白化形式的微分方程：(1)(1)dXaXudt(5-9)设ˆ(,)Taau，按最小二乘法得到11ˆ()TTaBBBY(5-10)其中：(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(0)(1)(1)1((1)(2))12(2)1(3)((2)(3))12()1((1)())12XXXXXXBYXnXnXn(5-11)易求得该微分方程的解为：(1)(0)(1)((1))akuuXkXeaa(5-12)再对求得的数列进行累减，就可得到相应的预测值。六、数值试验及结果分析在阅读大量文献的基础上，本文给出了三种典型的用于人口预测的模型。接下来将分别用这三种模型对我国的人口进行预测，通过比较、分析，找出较好的预测模型，最后利用该模型对我国出台单独二胎政策后的人口进行预测。数据来源于文献[4]，2005~2012年我国的人口总数以及65岁以上的人口总数如下表6.1所示：6表6.1历年人口及65岁以上人口(万人)年份20052006200720082009201020112012总人口13075613144813212913280213345013409113473513540465岁以上人口1005510419106361095611307118941228812714所占比例7.69%7.93%8.05%8.25%8.47%8.87%9.12%9.39%从上面的表格可以看出，我国老龄人口所占的比例逐渐增大，为此有必要改变我国的生育政策。基于此，单独二胎的政策才得以实现。接下来，分别利用前文中的三种人口预测模型对2005~2012年的人口进行预测，得到相关的模型，分析、比对各个模型的好坏。模型一：Logistic增长模型将2005~2012年我国的总人口数代入到式(5-1)、(5-2)中，利用MATLAB程序Logistic.m文件进行预测，最终得到的模型为：0.022420050.02242005171040171040()17104010.308111130756ttxtee(6-1)各年预测值与真值的比较如下表6.2以及图6.1所示(其中*代表的是真实值，红色折线代表的是预测值)：表6.2Logistic增长模型的预测值与真实值的比较(万人)年份20052006200720082009201020112012预测值130760131440132120132790133450134110134750135390真实值130756131448132129132802133450134091134735135404相对误差%0.00310.00610.00680.00900.00000.01420.01110.0103误差平方和969.0647200520062007200820092010201120121.3051.311.3151.321.3251.331.3351.341.3451.351.355x1057图6.1Logistic增长模型的预测值与真实值的比较模型二：线性回归模型将2005~2012年我国的总人口数代入到式(5-3)、(5-6)中，利用MATLAB程序Regress.m文件进行预测，最终得到的模型为：()660.77381194100xtt(6-2)各年预测值与真值的比较如下表6.3以及图6.2所示(其中*代表的是真实值，红色折线代表的是预测值)：表6.3线性回归模型的预测值与真实值的比较(万人)年份20052006200720082009201020112012预测值130790131450132110132770133430134090134750135410真实值130756131448132129132802133450134091134735135404相对误差%0.02600.00150.01440.02410.01500.00070.01110.0044误差平方和3153.7图6.2线性回归模型的预测值与真实值的比较模型三：灰色系统GM(1,1)模型将2005~2012年我国的总人口数代入到式(5-7)~(5-12)中，利用MATLAB程序GM1_1.m文件进行预测，最终得到的模型为：(1)0.0049161(2005)()26678623.919726547867.9197kXke(6-3)然后可以利用该模型进行预测，第1k时刻的预测值为：(0)(1)(1)0.00