人教高一数学值域和单调性讲义

第二节一、函数值域的求法：求函数值域，必须首先确定函数定义域。1、常规方法：（1）通过图像求值域：适用于能画出图像的函数，如3,0,322xxxy；（2）配方法：对于求二次函数类值域的习题用配方法来求解；2、分离常数法（分式）例如)0(abaxdcxy，其值域为：acyy|关键：ababa1且0baxc3、判别式法适用于形如11212cxbxacbxaxy，（1aa、不全为零且分式不可约的式子）4、换元法：适用于无理数中含自变量的函数，如xxy12。注意：设xt1，必须确定t的取值范围。5、对于一些复杂的或者复合函数，要逐层的求值域。题型一、求一般函数的值域：例1、求下列函数的值域：（1）1xy；（2）2415xxy；（3）123422xxxxy；（4）615822xxxxy（5）3274222xxxxy（6）1-2xxy例2、求下列函数的值域。（1）xy43，3,1x；（2）5,1,642xxxy；（3）113xxy；（4）xxy21题型二、求复合函数的值域：对于复合函数，要逐层求解，设内层函数为t，求出内层函数的值域，内层值域即外层函数的定义域，再利用函数性质求解。例3、求值域：5,2,213)(xxxf。（逐层求解值域）例4、求)32(log)(221xxxf的值域。（复合函数的值域）二、函数的单调性一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数，反之为减函数。注意：（1）单调性定义的理解：任意性：即从定义域中任意选取x1，x2，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替x1，x2；有序性：即通常规定x1x2；同区间性：即x1，x2属于同一区间，三者缺一不可。（2）对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性的问题，因此在写单调区间时，可以不包含区间端点，也可以不包含区间端点，但当函数在某些点无意义时，单调区间就不包含这些点。如：2-2xy的增区间为），（0-，也可以写为0-，（。而函数x1y在），（0-上是减函数，但是不能写成在0-，（上为减函数，因为当0x时，函数无意义。（3）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：单调区间可以是整个定义域。例如xy2在整个定义域范围）（,上是增函数，xy2-在整个定义域）（,上是减函数；单调区间也可以是定义域的真子集，例如2xy在）（,上不具有单调性，但在）（0,上是减函数，在）（,0上是增函数；单调区间一般不可以取并集，如xy1在）（0,上递减，在）（,0上也递减，但是不可以说xy1在），（）（00,上单调递减。在特殊情况下，可以把单调区间取并集，若f(x)在cbba,,，上都是增或者减函数，即两个区间上单调性相同，而且函数的两个区间都包括同一个端点，则可以说函数f(x)在ca,上是增或者减函数。例5、定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有0)()(babfaf，则必有（）A、函数f(x)先增后减；B、函数f(x)先减后增；C、函数f(x)在R上是增函数；D、函数f(x)在R上是减函数；3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。第二步是关键，在变形中尽量化为几个最简因式乘积或商的形式，且因式尽量有因式12xx。例6、研究函数的单调性：xxy1。注：对于函数为常数）且（ppxpxxf0)(时，不难证明，其在0,0pp和，上是减函数，在pp--,，和上是增函数。例7、证明函数xxxf1)(2在其定义域内是减函数。二、函数单调性（单调区间）的判别：1、直接法：对于熟悉的函数，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，则可以直接判别它们的单调性，求出其单调区间；2、定义法：按照证明函数单调性的五个步骤来进行。3、运算性质法：（1）当a0时，函数)(xaf与)(xf的单调性相同，当a0时，函数)(xaf与)(xf的单调性相反；（2）当函数)(xf恒为正或者恒为负时，)(xf与)(1xf的单调性相反；（3）若0)(xf，则)(xf与)(xf的单调性相同；（4）若)(xf与)(xg的单调性相同，则)(xf+)(xg的单调性与)(xg和)(xf的单调性相同；（5）若)(xf与)(xg的单调性想反，则)(xf-)(xg的单调性与)(xf的单调性相同。例8、函数32)(2xxxf的单调递减区域为()A、3--，B、1--，C、，1D、1-3-，三、单调性的应用技巧：1、用于比较函数值的大小：例9、已知函数)(xfy在上是减函数，试比较)43(f与函数)1(2aaf的大小。2、利用单调性求参数的取值范围：例10、已知2)1(2)(2xaxxf在4-，上是减函数，求实数a的取值范围。例11、已知函数)1(,)1(,5)(2xxaxaxxxf在R上是增函数，则a的取值范围是（）3、利用函数的单调性可以解决有关方程、不等式、值域等问题。例12、（1）解方程048412552xxxxx）（。（2）函数212xxy4、复合函数的单调性复合函数的单调性：同增异减。例如：函数xxf2-2)(函数xxxf)41(2)(2，单调递减。因为函数txf2)(1这个函数在整个定义域范围内单调递增，而xxf2)(1在定义域范围内是单调递减的，所以xxf2-2)(在定义域范围内是单调递减的。若一个函数由多个简单函数复合而成，则此复合函数由简单函数中的减函数的个数决定，若减函数有偶数个，则这个复合函数是增函数，若减函数是奇数个，则这个复合函数是减函数。利用单调性可以求函数的最值，注意在利用函数的单调性求最值时，必须首先求出定义域，然后求出其单调区间，最后确定其最值。例13、求函数228)(xxxf的单调区间。例14、求函数145221)(xxxf）（的单调区间和最值。学科提高：抽象函数单调性的证明。对于这一类题目，通常有两种方法，一种就是“凑”，凑定义或者凑已知，从而使用已知的条件得出结论；另外一种是赋值法，给变量赋值必须根据条件和结论的关系，有时可能要进行多次的尝试。一般情况下，0，-1,1这些特殊值都比较重要；证明单调性时，将函数的自变量变形为12xx或者是两个函数值之和比较常见。例15、已知定义于），（0上的函数)(xf，对于任意的)0(,，yx,恒有)()()(yfxfxyf，且当10x时，,0)(xf判断)(xf在），（0上的单调性。