余弦定理(第一课时)

余弦定理（第一课时）一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（苏教版）第一章《解三角形》中《余弦定理》（第一课时）,其主要任务是利用向量的数量积方法推导余弦定理,正确理解其结构特征和表现形式.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,是初中勾股定理内容的直接延拓,是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的交汇运用,是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值.二、学生学习情况分析学生已经学习了正弦定理有关内容,初步掌握了正弦定理的证明及应用,并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形.在对余弦定理教学时,考虑到它比正弦定理形式上更加复杂,教师可以有目的的提供一些供研究的素材,并作必要的启发和引导,让学生通过类比、联想、质疑、探究等步骤,辅以小组合作学习,建立猜想获得命题,再想方设法去证明.三、设计思路本课按新课程要求,利用师生互动合作,提高学生的数学思维能力,使学生成为知识的“发现者”和“创造者”,把学生现有的知识经验作为新知识的生长点,引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验,激发学生探究数学、应用数学知识的潜能.四、教学目标掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法,会用余弦定理解决基本的解三角形问题.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识的联系,来理解事物间的普遍联系及辩证统一.五、教学重点与难点教学重点是探究和证明余弦定理的过程;教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路过程.六、教学过程：教学环节合作探究学情分析与设计意图复习巩固1．三角形的正弦定理：CcAbAasinsinsin=2R;2．三角形正弦定理主要解决哪几类问题的三角形？（1）边角互化（2）解三角形：a、已知两角和任一边,求其它两边和一角;b、两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而求其它的边和角.复习回顾巩顾旧知问题创设1、试判断下列三角形的类型（1）、以3,4,5为各边长的三角形是_____三角形（2）、以2,3,4为各边长的三角形是_____三角形（3）、以4,5,6为各边长的三角形是_____三角形2、在△ABC中b＝3,c＝1,A＝60°,你能求出a边长吗？备注：学生对于第1题中（1）题可以很顺利的根据勾股定理的逆定理作出判断,但对于（2）、(3)及第2题无法用直角三角形勾股定理的的逆定理作出判断时,学生不知如何下手,可引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断.启发、引导学生分析相关内容,解决问题时需要使用余弦定理,借此引发学生的认知冲突,并使学生产生进一步探索解决问题的动机.自学质疑你有更好的具体量化方法吗？引导学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论,引发学生的积极讨论.引导学生从相关知识入手,选择简洁的处理工具来解决问题.互动探究1、回忆正弦定理的证明过程;先复习向量知识,在利用数量积时,角度最易出现错误,要让学生从错误中发现问题,从而巩固向量知识.2、如下图,长为b的向量AC如何用长为a、c的向量表示？选以ABAC,为基底,夹角为B-,关系式是：BCABAC;选以,,BCBA为基底,夹角为B,关系式是：BABCAC.3、能否利用向量法推导出：在三角形里已知三边及任两边的夹角四个两之间的关系？如图：设,,,CABbCAaCB,由三角形法则有baccabbacABCcabbababbaababaccccos2:cos22222222中即：△　　　　同理,让学生利用相同方法推导,BacabAbccbacos2,cos2222222先通过回顾正弦定理的证明方法然后通过类比提出是否能用向量的数量积来判断;教学中重点在如何将向量等式bac数量化,同时,让学生明确数学中化未知为已知的转化思想.归纳概括余弦定理：Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.归纳知识要点并进行比较,发现特征,强化记忆.AacbBC交流总结1、注意：定理的结构“平方”、“夹角”、“余弦”等.2、观察余弦定理,指明了三边长与其中一角的具体关系,并发现a与A,b与B,C与c之间的对应表述,而且三边长的平方在余弦定理中同时出现.使学生明确对应关系,树立方程思想.方法应用归纳总结你能解答问题创设中的问题？学生应用新学知识解决问题,巩固知识点.如何利用已知条件判断三角形的形状？利用余弦定理可以确定三角形每个内角的范围,因此能很快的对三角形的形状作出判断.在判断的过程中,一般先找到最大的角（即最大边所对应的角）,再判断这个最大角是锐角、直角还是钝角.用准确的量化关系去解决问题,根据边长来判断三角形的形状.知识联系余弦定理的公式还可以如何用？1、余弦定理的推论：bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos2221、当夹角为90°时,即三角形为直角三角形时即为余弦定理.2、应用范围：知三求一培养学生运用所学知识能举一反三的能力和善于发现的能力.注意余弦定理公式的变形;在解决三角形相关问题中,勾股定理是余弦定理特例.知识应用例1：已知△ABC中,a=4,b=5,c=6,求A（精确到0.1°）解：略思维启迪：(1)由题中已知三角形的三边长,联想到余弦定理Abccbacos2222,求出cosA,从而求出A的值.应用余弦定理可解决：（a）已知三角形三边求三角形内角的问题;（b）已知三例2：A,B两地之间隔着一个水塘,先选择另一点C,测得CA=182m,CB=126m,∠ACB=63°,求AB两地之间的距离（精确到1m）.解：略思维启迪：(1)题中已知两边长及夹角,从而联想到余弦定理,求出第三边长.例3：用余弦定理证明：在△ABC中,当∠C为锐角时,22ba＞2c;当∠C为钝角时,22ba＜2c.解：略思维启迪：(1)由题要证22ba与2c的大小关系,可联想到余弦定理公式中出现222cba，，,从而可由余弦定理入手;再根据当∠C为锐角时cosC＞0,当∠C为钝角时cosC＜0从而证得结论.角形两边及它们的夹角求第三边的问题;（c）根据三角形的三边来判断三角形的形状.练习巩固1、在△ABC中,已知b＝6,c＝8,B=30°求a2、锐角△ABC中b＝1,c＝2,则a取值为﹍﹍3、在△ABC中若有BbAacoscos,你能判断这个三角形的形状吗？若AbBacoscos呢？通过练习巩固,使学生知识结构更稳固,培养数学知识的应用能力.知识深化1、在△ABC中a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果（)22basin（A-B）=（)22basin（A+B）,试判断三角形的形状.思维启迪：利用正弦定理、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系.2、已知△ABC中,36sin,3,3Aba求c边长思维启迪：（1）用正弦定理分析引导;继续深化正弦、余弦定理,尤其是余弦定理的方程思想求解问题.ABC（2）应用余弦定理Abccbacos2222构造关于C的方程求解;（3）比较两种方法的利弊.能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决,更具有优越性.课堂小结1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么利与弊？2、从本课中你学到了哪些知识和方法？余弦定理能解决的问题：（1）已知三边求角;（2）已知两边和它们的夹角求第三边和其它两个角;（3）判断三角形的形状.3、解三角形的定理选用：（1）两角一边→正弦定理（2）两边一角↗两边及一边对角→正（余）弦定理↘两边及夹角→余弦定理（3）三边→余弦定理通过知识回顾,使学生巩固知识点体会收获.板书设计1、推导余弦定理及其推论2、例题讲解3、练习指导4、小结投影正弦、余弦定理的比较作业设计第15页1、3题知识巩固七、教学反思本节课是从特殊到一般,采用问题串的形式引导学生进行探究活动,这符合学生的认知结构.让学生自己发现余弦定理,鼓励学生独立思考,积极发表自己的见解.本课紧紧围绕余弦定理课题,对教学内容做了一些整合和补充,运用联系的观点,将旧知与新知进行重组拟合及提高,让学生从不同角度去认识余弦定理,有利于学生思维的扩展,充分认识到数学知识的发生、发展过程以及探究问题的方法．