从基函数说起

从基函数说起学习数学的目的是什么?认识世界,改造世界数学按照其内容来分,简单地说可以分为几个时期,(1)古代数学(几何与算术)九章算术,几何原本为代表,例如埃及,巴比伦,中国,印度以及希腊等国的数学,源于土地测量等生产活动以及天文历法等认识世界的活动(2)近代数学以微积分,数论等为代表(3)现代数学包罗万象当将实际问题转化为数学来研究时,实际问题中的元素用信号来表示,随着数学方法的不断完善,采用何种数学方法解决实际问题就变成如何利用数学工具有效的表示信号的问题?因此,如何有效表示信号是数学研究的核心问题。粗略的划分,主要有三种:（1）基于随机与统计方法的信号分析与表示方法随机方法最早源于号称数学第一家族(连续出了11位数学家)的Jacobi一世-Bernoulli,1685年发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文.随机方法得到最广泛应用始于冯.罗伊曼上世纪40年代中后期提出系统的蒙特卡罗方法.随着数据处理量越来越大,按照传统的数学方法对许多实际问题无能为力,随机化方法呈现出越来越重要的地位,例如,统计学在国际上已经成为独立于数学的专门学科.如：随机信号与各种分布（白噪声与Gauss分布、Possion分布等）；Markov随机场等；Bayess估计、Monte-Carlo方法等国际上知名的研究机构:斯坦福大学(有一位曾经的华裔领军人物:钟开莱),克朗数学所,耶鲁大学等（2）基于几何方法的信号描述几何（拓扑）结构，采用模式匹配等方法表示信息,和计算机结合构成计算机图形学的重要内容主要用于计算机科学,控制科学,生物等领域(例如,动漫设计)模式识别领域著名华裔科学家丘成桐等（3）基于数学分析学的信号描述函数形式（例如，一维信号可以通过一元函数表示、二维图像则可以表示为分片连续二元函数）,其中基是数学分析学的基本内容中学阶段:多项式函数属于一维基函数表示,圆锥曲线属于二维基函数表示高等代数中的基属于离散的基形式表示.基的作用:例如分析方法最常见的是基于多项式基函数的信号表示方法一维信号)(xf，二维图像),(yxf，三维视频),,(tyxf（数学上看统称为信号）如何表示上述信号？函数逼近的多项式逼近方法函数的Taylor展开nnaxnafaxafafxf)(!)())((')()()(其中用到的基为})(,,)(),(,1{2naxaxax有没有比它更好的基?首先,更好如何度量:例如,设函数)2,0[,sin)(xxxf,对于两种基函数},sin,,3sin,2sin,sin,1{},,)(,,)(),(,1{2nxxxxaxaxaxn显然,若采用前面一种基函数形式则不可能在有限的形势下表示)(xf,即必有nnnaxnafxf)(!)()(0)(或者NnNnnxraxnafxf0)()()(!)()(而用基},sin,,3sin,2sin,sin,1{nxxxx表示时,只需要一项xsin即可得到其精确表示.这说明对于函数(信号))2,0[,sin)(xxxf,基},sin,,3sin,2sin,sin,1{nxxxx要优于基})(,,)(),(,1{2naxaxax.另外,基于分析学,基又许多种类,例如,一般的基的概念,正交基概念,具有有限支撑的基的概念以及具有数学与物理意义下基的概念等等.小波是什么?我们用基表示信号时,其基大都定义在整个数周上或在任何有限期间内飞零的,用这些基不可能精确地表示信号,为什么?另一方面,我们实际中遇到的信号大都只是发生在有限时间内,具有有限的频率,小波恰好就是一种具有物理意义,发生在有限时间内的基函数.小波变换是一种同时反映信号时域和频率局部特征的分析学表示信号方法课程的重点:(1)寻找小波基函数,研究它的性质;(2)讨论小波在信息处理中的应用.