保险公司保险费收取的优化模型

保险公司保险费收取的优化模型摘要目录一问题的提出某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，在这一年内，若客户没有要求赔偿，则参保人可分为0,1,2,3,四类得到相应补助，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。新客户属于0类，若在一年没有要求赔偿，客户延续其保单时，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。若客户中途退出保险，则无论何种情况，均退还保险金适当部分。政府将于下一年实施安全带法规，则受伤司机和乘员将会减少，进而医疗费减少，最终影响我们所需求的保险费数额。已知每年事故数量不会减少，而死亡的司机会减少40%，医疗费下降范围为20%~40%，以及当年度此保险公司的统计报表。表1本年度发放的保险单数基本保险费：775元类别没有索赔时补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0012807083846201826416653281251764897128240176489824011544610138571154461350876005803241148760058总收入：6182百万元，偿还退回：70百万元，净收入：6112百万元；支出：149百万元，索赔支出：6093百万元，超支：130百万元表2本年度的索赔款类别索赔人数死亡司机人数平均修理费（元）平均医疗费（元）平均赔偿费（元）058275611652102015263195158246323315122312313886211585722929478232941370087270138058142321总修理费：1981（百万元），总医疗费：2218（百万元）总死亡赔偿费：1894（百万元），总索赔费：6093（百万元）问题一保险公司希望你能给出一个模型来解决上述问题，并以表1和2的数据为例验证你的方法。问题二在给出医疗费下降20%和40%的情况下，同时估算今后5年每年每份保险费的数额。二问题分析根据我们对保险业的了解，保险公司对保险费的收取取决于多方面的因素，例如，社会经济的发展、医疗费用、事故数量、司机死亡率的变化和维修费的改变等，其中最重要的莫过于保险公司的盈利状况和投保人对于保险费的接受能力。现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，法规的实施，直接影响一些上述因素的变化，使得公司不得不对保险费的金额作出相应的变化。首先，安全带法规的实施中受伤司机和乘员数减少，导致医药费下降，死亡人数减少，死亡赔偿费减少，进而使保险费降低，从而参保人数增加三问题基本假设1）四、符号说明五、模型的建立与求解5.1模型Ⅰ的建立与求解对于问题1，主要以验证为主，我们决定建立模型Ⅰ来进行判断，针对模型一我们做出以下模型假设：1）偿还退还总量不变2）保险公司支出不变3）每年的事故数量不变（即得修理费和每个人的索赔次数不变）4）死亡赔偿金不变5）公司运营支出不变5.1.1原始数据之间的关系5.1.2下一年的数据分析下一年0类续保人数=0类索赔人数-0类死亡人数+1类降为0类的人数（1类索赔人数-1类死亡人数）+2类降为0类的人数（2类索赔人数-2类死亡人数），即：下一年1类续保人数=0类升为1类的人数(0类总投保人数-0类索赔人数-0类注销人数+0类死亡人数)+3类降为1类的人数（3类索赔人数-3类死亡人数），即：下一年2类续保人数=1类升为2类的人数(1类续保人数-1类索赔人数-1类注销人数+1类死亡人数)，即：下一年3类续保人数=2类升为3类人数（2类续保人数-2类索赔人数-2类注销人数+2类死亡人数）+3类续保人数-3类索赔人数-3类注销人数+3类死亡人数），即：经计算得到实施安全带法规后第一年的数据如下表3实施安全带法规第一年发放的保单数类别没有索赔时补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0012438173965431339916403601251769819018966176981924011775090131981177509350876912403216418769124当司机死亡数减少40％，医疗费用减少x时，可以得到下表表4实施安全带法规后第一年的索赔款类别索赔人数死亡司机人数平均修理费（元）平均医疗费（元）平均赔偿费（元）0344411688610201526(1-x)13504521402812231231(1-x)2709021402947823(1-x)34209584212805814(1-x)5.1.3模型Ⅰ的建立与求解以保险公司获益最少，即公司的收支平衡建立模型可以得到保险公司的基本保险金和医疗费用减幅的关系式如下：8.0587y+1325.6x-3865.4=0由于医疗费的减少范围在20%到40%，经过计算可以得到如下结果：表5医疗费用减少20%～40%范围内各项费用x=20%x=40%总修理费（百万元）：11851185总医疗费（百万元）：1060795总死亡赔偿费（百万元）：11341134总索赔费（百万元）：33813116基本保险费（元）：446413即可得出医疗费在20%~40%变化时，在保证保险公司运营不亏损的情况下，基本保险费最少应该在446~413元。如果保险公司想要盈利，只要使基本保险费适当的提高即可。5.1.4模型Ⅰ的结果分析我们针对问题一制定了模型Ⅰ来进行判断，由于政府实施的安全带计划，使得司机在车祸中的死亡率降低，而综合医疗费的减少，综合考虑，保险费的数额势必下降。经模型Ⅰ的验证判断，得出的结论是当医疗费在20%到40%变化时，基本保险费在413到446元。比原始基础保险费775元低了很多。但是基于我们模型Ⅰ只是简单的考虑到了政策中的司机死亡人数下降和医疗费的减少等几个因素。在实际中，新投保人数的变化和赔偿费的改变等因素也将会影响保险公司基本保险费的设定。所以我们将进一步来建立数学模型来计算更加合理的结果。6.1模型Ⅱ的建立和求解由于安全带法规和医疗费减少都是第一年出现，所以模型Ⅰ可以比较客观的实际的验证和判断该事件出现之后的情况。然而，随着安全带法规的进一步实施，必然使得事故发生次数减少，对于保险业而言，投保人因为事故发生减少，所以投保人数可能随着时间而有减少的趋势；同时，因为医疗费的减少，普通居民投保意愿又得到了提升；再者，每个人一年的索赔次数也发生了相应的变化。综上所述，我们要想得到一个更为实际的得到未来五年内的投保单和保险公司经营数据，必须建立新的模型。6.1.2模型假设1）6.1.3数据分析1）对于新投保人数。由于医疗费的减少，致使投保人数呈增加的趋势，然而随着安全带法规的实施，司机死伤的数量减少，人们投保的意愿指数降低，导致人们不愿意再去投保，另外随着其他各种促进或者抑制投保人数增加的原因，最终必然导致新投保人数在经历一个增长期之后又呈现出一个稳定的状态，即新投保人数的增长呈现“人口阻滞增长”（Logistic模型）的性质，这样也符合实际生活中事件的变化规律。所以，我们建立Logistic模型来计算未来五年新投保人数。设新投保人数为令新投保人数为)(tx，其中t为时间；)(tr为新投保人数的增长率。设)(tr为x的线性函数0,,)(srsxrxr，这里r为固有增长率。为了确定系数s的意义，引入投保人数最大值mx。因此，新投保人数增长率)(xr可表示为：)1()(mxxrxr在上式假设下建立阻滞增长模型如下：0)0(),1(xxxxrxdtdxm用分离变量法求解，结果为：rtmmexxxtx)1(1)(0带入本年度新投保人数并取5.0r，得出416440mx，所以新投保人数的阻滞增长模型即为：tetx5.00827.01416440)(由上式即可得今后五年的新投保人数如下表：表3五年的新投保人数第一年第二年第三年第四年第五年3965494041454088954118314136322）对于一个人一年的索赔次数。查阅相关资料可知，在总投保人数中每个人的索赔次数服从泊松分布，所以他索赔k次的概率p为：)0(!)(ikiikekKp所以，他至少索赔一次的概率为：ieKPKPii)0(1)1(所以总人数中x个人索赔的概率为：knknxnixixnieeCCxP)()1()1()(索赔人数用它的期望值来表示，为：（&）所以：)(lnln索总总BBBi由此可得到索赔人数与总投保人数之间的关系为：)1(ieBB总索带入数据计算可得到各类索赔人数与总投保人数的关系，见下表所示。表4索赔人数与总投保人数之间的关系类别函数第0类0.4307)14307.0eBB（总索第1类0.4005)14005.0eBB（总索第2类0.1057)11057.0eBB（总索第3类0.0834)10834.0eBB（总索